【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AC的垂直平分線分別與AC,BC及AB的延長線相較于點D,E,F(xiàn),且BF=BC,⊙O是△BEF的外接圓,∠EBF的平分線交EF于點G,交⊙O于點H,連接BD,F(xiàn)H.
(1)求證:△ABC≌△EBF;
(2)試判斷BD與⊙O的位置關(guān)系,并說明理由;
(3)若AB=1,求HGHB的值.
【答案】
(1)證明:∵∠ABC=90°,
∴∠EBF=90°,
∵DF⊥AC,
∴∠ADF=90°,
∴∠C+∠A=∠A+∠AFD=90°,
∴∠C=∠BFE,
在△ABC與△EBF中, ,
∴△ABC≌△EBF
(2)BD與⊙O相切,如圖1,連接OB
證明如下:∵OB=OF,
∴∠OBF=∠OFB,
∵∠ABC=90°,AD=CD,
∴BD=CD,
∴∠C=∠DBC,
∵∠C=∠BFE,
∴∠DBC=∠OBF,
∵∠CBO+∠OBF=90°,∴∠DBC+∠CBO=90°,
∴∠DBO=90°,
∴BD與⊙O相切
(3)解:如圖2,連接CF,HE,
∵∠CBF=90°,BC=BF,
∴CF= BF,
∵DF垂直平分AC,
∴AF=CF=AB+BF=1+BF= BF,
∴BF= +1,
∵△ABC≌△EBF,
∴BE=AB=1,
∴EF= = ,
∵BH平分∠CBF,
∴ ,
∴EH=FH,
∴△EHF是等腰直角三角形,
∴HF= EF= ,
∵∠EFH=∠HBF=45°,∠BHF=∠BHF,
∴△BHF∽△FHG,
∴ ,
∴HGHB=HF2=2+ .
【解析】(1)由垂直的定義可得∠EBF=∠ADF=90°,于是得到∠C=∠BFE,從而證得△ABC≌△EBF;(2)BD與⊙O相切,如圖1,連接OB證得∠DBO=90°,即可得到BD與⊙O相切;(3)如圖2,連接CF,HE,有等腰直角三角形的性質(zhì)得到CF= BF,由于DF垂直平分AC,得到AF=CF=AB+BF=1+BF= BF,求得BF= +1,有勾股定理解出EF = ,推出△EHF是等腰直角三角形,求得HF= EF= ,通過△BHF∽△FHG,列比例式即可得到結(jié)論.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某中學(xué)對全校學(xué)生進(jìn)行文明禮儀知識測試,為了解測試結(jié)果,隨機抽取部分學(xué)生的成績進(jìn)行分析,將成績分為三個等級:不合格、一般、優(yōu)秀,并繪制成如圖兩幅統(tǒng)計圖(不完整).
請你根據(jù)圖中所給的信息解答下列問題:
(1)這次測試,一共抽取了名學(xué)生;
(2)請將以上兩幅統(tǒng)計圖補充完整;(注:扇形圖補百分比,條形圖補“優(yōu)秀”人數(shù)與高度);
(3)若“一般”和“優(yōu)秀”均被視為達(dá)標(biāo)成績,該校學(xué)生有1200人,請你估計此次測試中,全校達(dá)標(biāo)的學(xué)生有多少人.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖是用長度相等的小棒按一定規(guī)律擺成的一組圖案.
(1)第1個圖案中有______根小棒;第2個圖案中有__根小棒;第3個圖案中有__根小棒;
(2)第n個圖案中有多少根小棒?
(3)第25個圖案中有多少根小棒?
(4)是否存在某個符合上述規(guī)律的圖案,由2032根小棒擺成?如果有,指出是第幾個圖案;如果沒有,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲乙兩人想共同承包一項工程,甲單獨做30天完成,乙單獨做20天完成,合同規(guī)定15天完成,若完不成視為違約,甲乙兩人經(jīng)過商量后簽訂了該合同.
(1)正常情況下,甲乙兩人能否履行該合同?為什么?
(2)現(xiàn)在兩人合作了9天,因別處有急事,必需調(diào)走1人,問兩人能否違約?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為疏導(dǎo)國慶假期交通,一輛交通巡邏車在南北公路上巡視.某天早上從地出發(fā),中午到達(dá)地,行駛記錄如下(規(guī)定向北為正方向,單位:千米):
,,,,,,.
請你解答下列問題:
(1)地在地的什么方向?與地相距多遠(yuǎn)?
(2)巡邏車在巡邏中,離開地最遠(yuǎn)多少千米?
(3)若巡邏車行駛每千米耗油升,這半天共耗油多少升?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(1)當(dāng)時,求兩個代數(shù)式與的值;
(2)當(dāng)時,再求以上兩個代數(shù)式的值;
(3)你能從上面的計算結(jié)果中,發(fā)現(xiàn)上面有什么結(jié)論?
結(jié)論是: ;
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四邊形OABC為矩形,點A,C分別在x軸和y軸上,連接AC,點B的坐標(biāo)為(8,6),∠CAO的平分線與y軸相交于點D,則點D的坐標(biāo)為_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠B=90°,BC=5,∠C=30°.點D從點C出發(fā)沿CA方向以每秒2個單位長的速度向A點勻速運動,同時點E從點A出發(fā)沿AB方向以每秒1個單位長的速度向點B勻速運動,當(dāng)其中一個點到達(dá)終點時,另一個點也隨之停止運動.設(shè)點D、E運動的時間是t秒(t>0).過點D作DF⊥BC于點F,連接DE、EF.
(1)AC的長是 ,AB的長是 .
(2)在D、E的運動過程中,線段EF與AD的關(guān)系是否發(fā)生變化?若不變化,那么線段EF與AD是何關(guān)系,并給予證明;若變化,請說明理由.
(3)當(dāng)t為何值,△BEF的面積是2?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】我市某蔬菜生產(chǎn)基地在氣溫較低時,用裝有恒溫系統(tǒng)的大棚栽培一種在自然光照且溫度為18℃的條件下生長最快的新品種.如圖是某天恒溫系統(tǒng)從開啟到關(guān)閉及關(guān)閉后,大棚內(nèi)溫度y(℃)隨時間x(小時)變化的函數(shù)圖象,其中BC段是雙曲線y=的一部分.請根據(jù)圖中信息解答下列問題:
(1)恒溫系統(tǒng)在這天保持大棚內(nèi)溫度18℃的時間有多少小時?
(2)求k的值;
(3)當(dāng)棚內(nèi)溫度不低于16℃時,該蔬菜能夠快速生長,請問這天該蔬菜能夠快速生長多長時間?
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