【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AC的垂直平分線分別與AC,BC及AB的延長線相較于點D,E,F(xiàn),且BF=BC,⊙O是△BEF的外接圓,∠EBF的平分線交EF于點G,交⊙O于點H,連接BD,F(xiàn)H.

(1)求證:△ABC≌△EBF;
(2)試判斷BD與⊙O的位置關(guān)系,并說明理由;
(3)若AB=1,求HGHB的值.

【答案】
(1)證明:∵∠ABC=90°,

∴∠EBF=90°,

∵DF⊥AC,

∴∠ADF=90°,

∴∠C+∠A=∠A+∠AFD=90°,

∴∠C=∠BFE,

在△ABC與△EBF中, ,

∴△ABC≌△EBF


(2)BD與⊙O相切,如圖1,連接OB

證明如下:∵OB=OF,

∴∠OBF=∠OFB,

∵∠ABC=90°,AD=CD,

∴BD=CD,

∴∠C=∠DBC,

∵∠C=∠BFE,

∴∠DBC=∠OBF,

∵∠CBO+∠OBF=90°,∴∠DBC+∠CBO=90°,

∴∠DBO=90°,

∴BD與⊙O相切


(3)解:如圖2,連接CF,HE,

∵∠CBF=90°,BC=BF,

∴CF= BF,

∵DF垂直平分AC,

∴AF=CF=AB+BF=1+BF= BF,

∴BF= +1,

∵△ABC≌△EBF,

∴BE=AB=1,

∴EF= = ,

∵BH平分∠CBF,

,

∴EH=FH,

∴△EHF是等腰直角三角形,

∴HF= EF= ,

∵∠EFH=∠HBF=45°,∠BHF=∠BHF,

∴△BHF∽△FHG,

,

∴HGHB=HF2=2+


【解析】(1)由垂直的定義可得∠EBF=∠ADF=90°,于是得到∠C=∠BFE,從而證得△ABC≌△EBF;(2)BD與⊙O相切,如圖1,連接OB證得∠DBO=90°,即可得到BD與⊙O相切;(3)如圖2,連接CF,HE,有等腰直角三角形的性質(zhì)得到CF= BF,由于DF垂直平分AC,得到AF=CF=AB+BF=1+BF= BF,求得BF= +1,有勾股定理解出EF = ,推出△EHF是等腰直角三角形,求得HF= EF= ,通過△BHF∽△FHG,列比例式即可得到結(jié)論.

練習(xí)冊系列答案
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請你根據(jù)圖中所給的信息解答下列問題:

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(2)請將以上兩幅統(tǒng)計圖補充完整;(注:扇形圖補百分比,條形圖補優(yōu)秀人數(shù)與高度);

(3)若一般優(yōu)秀均被視為達(dá)標(biāo)成績,該校學(xué)生有1200人,請你估計此次測試中,全校達(dá)標(biāo)的學(xué)生有多少人.

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,,,,

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(1)AC的長是   ,AB的長是 

(2)在D、E的運動過程中,線段EFAD的關(guān)系是否發(fā)生變化?若不變化,那么線段EFAD是何關(guān)系,并給予證明;若變化,請說明理由.

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