Question

數學家高斯在上學時曾經研究過這樣一個問題，1+2+3+…+10=？
經過研究，這個問題的一般性結論是1+2+3+…+n=

1

2

n（n+1），其中n為正整數，現在我們來研究一個類似的問題：1×2+2×3+…+n（n+1）=？
觀察下面三個特殊的等式：
1×2=n（1×2×3-0×1×2）
2×3=x（2×3×4-1×2×3）
3×4=n（3×4×5-2×3×4）
將這三個等式的兩邊相加，可以得到1×2+2×3+3×4=m×3×4×5=20．
讀完這段材料，請你計算：
（1）1×2+2×3+…+100×101=______；（直接寫出結果）
（2）1×2+2×3+…+n（n+1）；（寫出計算過程）
（3）1×2×3+2×3×4+…+n（n+1）（n+2）=______．

Answer 1

（1）∵1×2+2×3+3×4=m×3×4×5=

1

3

×4×5=20，
∴1×2+2×3+…+100×101=

1

3

×100×101×102=343400；

（2）∵1×2=n（1×2×3-0×1×2）=

1

3

（1×2×3-0×1×2），
2×3=x（2×3×4-1×2×3）=

1

3

（2×3×4-1×2×3），
3×4=n（3×4×5-2×3×4）=

1

3

（3×4×5-2×3×4），
…
n（n+1）=

1

3

[n（n+1）（n+2）-（n-1）n（n+1）]，
∴1×2+2×3+…+n（n+1）=

1

3

[1×2×3-0×1×2+2×3×4-1×2×3+3×4×5-2×3×4+…+n（n+1）（n+2）-（n-1）n（n+1）]，
=

1

3

n（n+1）（n+2）；

（3）根據（2）的計算方法，1×2×3=n（1×2×3×4-0×1×2×3）=

1

4

（1×2×3×4-0×1×2×3），
2×3×4=x（2×3×4×5-1×2×3×4）=

1

4

（2×3×4×5-1×2×3×4），
…
n（n+1）（n+2）=

1

4

[n（n+1）（n+2）（n+3）-（n-1）n（n+1）（n+2）]，
∴1×2×3+2×3×4+…+n（n+1）（n+2）=

1

4

（1×2×3×4-0×1×2×3+2×3×4×5-1×2×3×4+…+n（n+1）（n+2）（n+3）-（n-1）n（n+1）（n+2）]，
=

1

4

n（n+1）（n+2）（n+3）．
故答案為：（1）343400；（2）

1

3

n（n+1）（n+2）；（3）

1

4

n（n+1）（n+2）（n+3）．