Question

（2011•虹口區(qū)一模）已知A₁、A₂、A₃是拋物線y=

1

4

x2上的三點(diǎn)，它們相應(yīng)的橫坐標(biāo)為連續(xù)偶數(shù)（n-2）、n、（n+2）（其中n＞2），直線A₁B₁、A₂B₂、A₃B₃分別垂直于x軸于點(diǎn)B₁、B₂、B₃，直線A₂B₂交線段A₁B₃于點(diǎn)C．
（1）當(dāng)n=4時(shí)，如圖1，求線段CA₂的長；
（2）如圖2，若將拋物線y=

1

4

x2改為拋物線y=x²+c（其中c是常數(shù)，且c＞0）．其他條件不變，求線段CA₂的長；
（3）若將拋物線y=

1

4

x2改為拋物線y=ax²+c（其中a、c是常數(shù)，且a＞0）．其他條件不變，求線段CA₂的長，并直接寫出結(jié)果（結(jié)果用a、c表示）

Answer 1

分析：（1）根據(jù)條件可以求出A₁、A₂、A₃的坐標(biāo)，從而可以求出A₁B₁、A₂B₂、A₃B₃的值，再A₁、A₃的坐標(biāo)求出直線A₁A₃的解析式，就可以求出C的坐標(biāo)，可以確定B₂C的值，從而可以求出CA₂的值．
（2）由A₁、A₂、A₃三點(diǎn)的橫坐標(biāo)可以求出A₁、A₂、A₃三點(diǎn)的坐標(biāo)，可以求出直線A₁A₃的解析式，就可以求出C的坐標(biāo)，可以確定B₂C的值，從而可以求出CA₂的值．
（3）由（2）同樣的方法求出求出A₁、A₂、A₃三點(diǎn)的坐標(biāo)，求出直線A₁A₃的解析式，再求出C的坐標(biāo)，可以確定B₂C的值，從而可以求出CA₂的值．

解答：解：（1）∵A₁、A₂、A₃相應(yīng)的橫坐標(biāo)為連續(xù)偶數(shù)（n-2）、n、（n+2）（其中n＞2），且n=4，
∴A₁、A₂、A₃三點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次為：2、4、6，
∴代入拋物線y=

1

4

x2可求得A₁（2，1）、A₂（4，4）、A₃（6，9）．
∴A₂B₂=4
設(shè)直線A₁A₃的解析式為：y=kx+b，
∴

1=2k+b 9=6k+b

，解得：

k=2 b=-3

，
∴線A₁A₃的解析式為y=2x-3，當(dāng)x=4時(shí)，y=5，
∴C（4，5）
∴CB₂=5，
∴CA₂=1．

（2）∵A₁、A₂、A₃相應(yīng)的橫坐標(biāo)為連續(xù)偶數(shù)（n-2）、n、（n+2）（其中n＞2），
∴代入拋物線y=x²+c，可求得A₁（n-2，n²-4n+4+c）、A₂（n，n²+c）、A₃（n+2，n²+4n+4+c）．
∴A₂B₂=n²+c．
設(shè)直線A₁A₃的解析式為：y=kx+b，
∴

(n-2)k+b=n2-4n+4+c (n+2)k+b=n2+4n+4+c

，解得：

k=2n b=-n2+4+c

，
∴線A₁A₃的解析式為y=2nx-n²+4+c，當(dāng)x=n時(shí)，y=n²+4+c，
∴C（n，n²+4+c），
∴CB₂=n²+4+c，
∴CA₂=4．

（3）由題意，得
CA₂=4a（a＞0）．

點(diǎn)評：本題一道二次函數(shù)的綜合試題，考查了運(yùn)用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式和求二次函數(shù)的解析式及線段的差．