Question

【題目】如圖，在中，為銳角，點(diǎn)為直線上一動點(diǎn)，以為直角邊且在的右側(cè)作等腰直角三角形，，.

（1）如果，.

①當(dāng)點(diǎn)在線段上時，如圖1，線段、的位置關(guān)系為___________，數(shù)量關(guān)系為_____________

②當(dāng)點(diǎn)在線段的延長線上時，如圖2，①中的結(jié)論是否仍然成立，請說明理由.

（2）如圖3，如果，，點(diǎn)在線段上運(yùn)動。探究：當(dāng)多少度時，？小明通過（1）的探究，猜想時，.他想過點(diǎn)做的垂線，與的延長線相交，構(gòu)建圖2的基本圖案，尋找解決此問題的方法。小明的想法對嗎？如不對寫出你的結(jié)論；如對按此方法解決問題并寫出理由.

Answer 1

【答案】（1）①垂直，相等；②都成立；（2）當(dāng)時，

【解析】

（1）①根據(jù)∠BAD=∠CAE，BA=CA，AD=AE，運(yùn)用“SAS”證明△ABD≌△ACE，根據(jù)全等三角形性質(zhì)得出對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等，即可得到線段CE、BD之間的關(guān)系；

②先根據(jù)“SAS”證明△ABD≌△ACE，再根據(jù)全等三角形性質(zhì)得出對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等，即可得到①中的結(jié)論仍然成立；

（2）先過點(diǎn)A作AG⊥AC交BC于點(diǎn)G，畫出符合要求的圖形，再結(jié)合圖形判定△GAD≌△CAE，得出對應(yīng)角相等，即可得出結(jié)論．

解：（1）①CE與BD位置關(guān)系是CE⊥BD，數(shù)量關(guān)系是CE=BD．

理由：如圖1，∵∠BAD=90°-∠DAC，∠CAE=90°-∠DAC，

∴∠BAD=∠CAE．

又 BA=CA，AD=AE，

∴△ABD≌△ACE （SAS）

∴∠ACE=∠B=45°且 CE=BD．

∵∠ACB=∠B=45°，

∴∠ECB=45°+45°=90°，即 CE⊥BD．

故答案為：垂直，相等；

②都成立

∵，

∴，

∴，

在與中，

∴，

∴，

∴，即；

（2）當(dāng)時，（如圖）．

理由：過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，

則，

∵，

∴，

∴，

∴，

在與中，

∴，

∴，

∴，即．