Question

【題目】如圖，已知點(diǎn)A是雙曲線y= 在第三象限分支上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AO并延長(zhǎng)交另一分支于點(diǎn)B，以AB為邊作等邊三角形ABC，點(diǎn)C在第四象限內(nèi)，且隨著點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)C的位置也在不斷變化，但點(diǎn)C始終在雙曲線y= 上運(yùn)動(dòng)，則k的值是.

Answer 1

【答案】-3
【解析】解：如圖，連接OC，

解：∵雙曲線y= 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
∴點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．
∴OA=OB．
∵△ABC是等邊三角形，OA=OB，
∴OC⊥AB．∠BAC=60°．
∴tan∠OAC= = ．
∴OC= OA．
過點(diǎn)A作AE⊥y軸，垂足為E，
過點(diǎn)C作CF⊥y軸，垂足為F，
∵AE⊥OE，CF⊥OF，OC⊥OA，
∴∠AEO=∠OFC，∠AOE=90°-∠FOC=∠OCF．
∴△AEO∽△OFC．
∴ = ．
∵OC= OA，
∴OF= AE，F(xiàn)C= EO．
設(shè)點(diǎn)A坐標(biāo)為（a，b），
∵點(diǎn)A在第一象限，
∴AE=a，OE=b．
∴OF= AE= a，F(xiàn)C= EO= b．
∵點(diǎn)A在雙曲線y= 上，
∴ab= ．
∴FCOF= b a=3ab=3 ，
設(shè)點(diǎn)C坐標(biāo)為（x，y），
∵點(diǎn)C在第四象限，
∴FC=x，OF=-y．
∴FCOF=x（-y）=-xy=-3 ．
∴xy=-3 ．
∵點(diǎn)C在雙曲線y= 上，
∴k=xy=-3 ．
所以答案是-3 .
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的相似三角形的判定，需要了解相似三角形的判定方法:兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似（ASA）；直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形和原三角形相似； 兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似（SAS）；三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似（SSS）才能得出正確答案．