Question

如果方程kx²+（k+1）x+（k-1）=0的根都是整數(shù)，則常數(shù)k=

 

．

Answer 1

考點：根與系數(shù)的關(guān)系,一元一次方程的解

專題：計算題

分析：分k=0和k≠0兩種情況討論，若k=0，方程是一元一次方程，計算出方程的根；若k≠0，方程是一元二次方程，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，由方程的根是整數(shù)，確定k的值．

解答：解：若k=0，則方程為x-1=0，根都是整數(shù)；
若k≠0，△=（k+1）²-4×k×（k-1）=-3k²+6k+1=-3（k-1）²+4，
一元二次方程都是整數(shù)根，則△必須為完全平方數(shù)，
∴當(dāng)△=4，則k=1；當(dāng)△=1，則k=2；當(dāng)△=

4

49

時，k=-

1

7

；當(dāng)△=0，則k=1±

2 2

3

；
而x=

-(k+1)± △

2k

，
當(dāng)k=1，解得x=0或-2；
當(dāng)k=2，解得x=-

1

2

或-1；
當(dāng)k=-

1

7

，解得x=2或4；
當(dāng)k=1±

2 2

3

，解得x都不為整數(shù)，并且k為其它數(shù)△為完全平方數(shù)時，解得x都不為整數(shù)．
∴當(dāng)k為0、1、-

1

7

時方程都是整數(shù)根．

點評：本題考查的是一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，由根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合方程的根是整數(shù)進(jìn)行討論確定k的值．