【題目】已知AB是⊙O的直徑,弦CD⊥AB于H,過CD延長線上一點(diǎn)E作⊙O的切線交AB的延長線于F,切點(diǎn)為G,連接AG交CD于K.
(1)如圖1,求證:KE=GE;
(2)如圖2,連接CABG,若∠FGB=∠ACH,求證:CA∥FE;
(3)如圖3,在(2)的條件下,連接CG交AB于點(diǎn)N,若sinE=,AK=,求CN的長.
【答案】(1)證明見解析;(2)證明見解析;(3)CN=.
【解析】試題分析:
(1)連接OG,則由已知易得∠OGE=∠AHK=90°,由OG=OA可得∠AGO=∠OAG,從而可得∠KGE=∠AKH=∠EKG,這樣即可得到KE=GE;
(2)設(shè)∠FGB=α,由AB是直徑可得∠AGB=90°,從而可得∠KGE=90°-α,結(jié)合GE=KE可得∠EKG=90°-α,這樣在△GKE中可得∠E=2α,由∠FGB=∠ACH可得∠ACH=2α,這樣可得∠E=∠ACH,由此即可得到CA∥EF;
(3)如下圖2,作NP⊥AC于P,
由(2)可知∠ACH=∠E,由此可得sinE=sin∠ACH=,設(shè)AH=3a,可得AC=5a,CH=4a,則tan∠CAH=,由(2)中結(jié)論易得∠CAK=∠EGK=∠EKG=∠AKC,從而可得CK=AC=5a,由此可得HK=a,tan∠AKH=,AK=a,結(jié)合AK=可得a=1,則AC=5;在四邊形BGKH中,由∠BHK=∠BKG=90°,可得∠ABG+∠HKG=180°,結(jié)合∠AKH+∠GKG=180°,∠ACG=∠ABG可得∠ACG=∠AKH,
在Rt△APN中,由tan∠CAH=,可設(shè)PN=12b,AP=9b,由tan∠ACG=tan∠AKH=3可得CP=4b,由此可得AC=AP+CP==5,則可得b=,由此即可在Rt△CPN中由勾股定理解出CN的長.
試題解析:
(1)如圖1,連接OG.
∵EF切⊙O于G,
∴OG⊥EF,
∴∠AGO+∠AGE=90°,
∵CD⊥AB于H,
∴∠AHD=90°,
∴∠OAG=∠AKH=90°,
∵OA=OG,
∴∠AGO=∠OAG,
∴∠AGE=∠AKH,
∵∠EKG=∠AKH,
∴∠EKG=∠AGE,
∴KE=GE.
(2)設(shè)∠FGB=α,
∵AB是直徑,
∴∠AGB=90°,
∴∠AGE=∠EKG=90°﹣α,
∴∠E=180°﹣∠AGE﹣∠EKG=2α,
∵∠FGB=∠ACH,
∴∠ACH=2α,
∴∠ACH=∠E,
∴CA∥FE.
(3)作NP⊥AC于P.
∵∠ACH=∠E,
∴sin∠E=sin∠ACH=,設(shè)AH=3a,AC=5a,
則CH=,tan∠CAH=,
∵CA∥FE,
∴∠CAK=∠AGE,
∵∠AGE=∠AKH,
∴∠CAK=∠AKH,
∴AC=CK=5a,HK=CK﹣CH=4a,tan∠AKH==3,AK= ,
∵AK=,
∴,
∴a=1.AC=5,
∵∠BHD=∠AGB=90°,
∴∠BHD+∠AGB=180°,
在四邊形BGKH中,∠BHD+∠HKG+∠AGB+∠ABG=360°,
∴∠ABG+∠HKG=180°,
∵∠AKH+∠HKG=180°,
∴∠AKH=∠ABG,
∵∠ACN=∠ABG,
∴∠AKH=∠ACN,
∴tan∠AKH=tan∠ACN=3,
∵NP⊥AC于P,
∴∠APN=∠CPN=90°,
在Rt△APN中,tan∠CAH=,設(shè)PN=12b,則AP=9b,
在Rt△CPN中,tan∠ACN==3,
∴CP=4b,
∴AC=AP+CP=13b,
∵AC=5,
∴13b=5,
∴b=,
∴CN== =.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一輛貨車從倉庫O出發(fā)在東西街道上運(yùn)送水果,規(guī)定向東為正方向,一次到達(dá)的5個銷售地點(diǎn)分別為A,B,C,D,E,最后回到倉庫O,貨車行駛的記錄(單位:千米)如下:+2,+3,﹣6,﹣1,﹣2,+4.請問:
(1)請以倉庫O為原點(diǎn),向東為正方向,選擇適當(dāng)?shù)膯挝婚L度,畫出數(shù)軸,并標(biāo)出A,B,C,D,E的位置;
(2)試求出該貨車共行駛了多少千米?
(3)如果貨車運(yùn)送的水果以100千克為標(biāo)準(zhǔn)重量,超過的千克數(shù)記為正數(shù),不足的千克數(shù)記為負(fù)數(shù),則運(yùn)往A,B,C,D,E五個地點(diǎn)的水果重量可記為:+50,﹣15,+25,﹣10,﹣20,則該貨車運(yùn)送的水果總重量是多少千克?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC中,∠B=90°,tan∠BAC=,半徑為2的⊙O從點(diǎn)A開始(圖1),沿AB向右滾動,滾動時始終與AB相切(切點(diǎn)為D);當(dāng)圓心O落在AC上時滾動停止,此時⊙O與BC相切于點(diǎn)E(圖2).作OG⊥AC于點(diǎn)G.
(1)利用圖2,求cos∠BAC的值;
(2)當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)A重合時(如圖1),求OG;
(3)如圖3,在⊙O滾動過程中,設(shè)AD=x,請用含x的代數(shù)式表示OG,并寫出x的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(1)先化簡再求值:7a2b+(4a2b﹣9ab2)﹣2(5a2b﹣3ab2),其中a=2,b=﹣1.
(2)已知代數(shù)式 A=x2+xy﹣2y,B=2x2﹣2xy+x﹣1
①求 2A﹣B.
②若 2A﹣B 的值與 x 的取值無關(guān),求 y 的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某商店準(zhǔn)備購進(jìn)一批電冰箱和空調(diào),每臺電冰箱的進(jìn)價比每臺空調(diào)的進(jìn)價多400元,商店用8000元購進(jìn)電冰箱的數(shù)量與用6400元購進(jìn)空調(diào)的數(shù)量相等.
(1)求每臺電冰箱與空調(diào)的進(jìn)價分別是多少?
(2)已知電冰箱的銷售價為每臺2100元,空調(diào)的銷售價為每臺1750元.若商店準(zhǔn)備購進(jìn)這兩種家電共100臺,其中購進(jìn)電冰箱x臺(33≤x≤40),那么該商店要獲得最大利潤應(yīng)如何進(jìn)貨?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校九年級學(xué)生在一節(jié)體育課中,選一組學(xué)生進(jìn)行投籃比賽,每人投10次,匯總投進(jìn)球數(shù)的情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析,繪制了如下不完整的統(tǒng)計(jì)表和統(tǒng)計(jì)圖.
次數(shù) | 10 | 8 | 6 | 5 |
人數(shù) | 3 | a | 2 | 1 |
(1)表中a= ;
(2)請將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整;
(3)從小組成員中選一名學(xué)生參加校動會投籃比賽,投進(jìn)10球的成員被選中的概率為多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某工廠接受了20天內(nèi)生產(chǎn)1200臺GH型電子產(chǎn)品的總?cè)蝿?wù).已知每臺GH型產(chǎn)品由4個G型裝置和3個H型裝置配套組成.工廠現(xiàn)有80名工人,每個工人每天能加工6個G型裝置或3個H型裝置.工廠將所有工人分成兩組同時開始加工,每組分別加工一種裝置,并要求每天加工的G、H型裝置數(shù)量正好全部配套組成GH型產(chǎn)品.
(1)按照這樣的生產(chǎn)方式,工廠每天能配套組成多少套GH型電子產(chǎn)品?請列出二元一次方程組解答此問題.
(2)為了在規(guī)定期限內(nèi)完成總?cè)蝿?wù),工廠決定補(bǔ)充一些新工人,這些新工人只能獨(dú)立進(jìn)行G型裝置的加工,且每人每天只能加工4個G型裝置.1.設(shè)原來每天安排x名工人生產(chǎn)G型裝置,后來補(bǔ)充m名新工人,求x的值(用含m的代數(shù)式表示)2.請問至少需要補(bǔ)充多少名新工人才能在規(guī)定期內(nèi)完成總?cè)蝿?wù)?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】“十一”黃金周期間,淮安動物園在7天假期中每天接待的人數(shù)變化如下表(正數(shù)表示比前一天多的人數(shù),負(fù)數(shù)表示比前一天少的人數(shù)),把9月30日的游客人數(shù)記為a萬人.
(1)請用含a的代數(shù)式表示10月2日的游客人數(shù);
(2)請判斷七天內(nèi)游客人數(shù)最多的是哪天,有多少人?
(3)若9月30日的游客人數(shù)為2萬人,門票每人10元,問黃金周期間淮安動物園門票收入是多少元?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校八年級數(shù)學(xué)小組在課外活動中,研究了同一坐標(biāo)系中兩個反比例函數(shù)與()在第一象限圖像的性質(zhì),經(jīng)歷了如下探究過程:
操作猜想:(1)如圖1,當(dāng),時,在y軸的正半軸上取一點(diǎn)A作x軸的平行線交于點(diǎn)B,交于點(diǎn)C.當(dāng)OA=1時,= ;當(dāng)OA=3時,= ;當(dāng)OA=a時,猜想= .
數(shù)學(xué)思考:(2)在y軸的正半軸上任意取點(diǎn)A作x軸的平行線,交于點(diǎn)B、交于點(diǎn)C,請用含、的式子表示的值,并利用圖2加以證明.
推廣應(yīng)用:(3)如圖3,若,,在y軸的正半軸上分別取點(diǎn)A、D(OD>OA)作x軸的平行線,交于點(diǎn)B、E,交于點(diǎn)C、F,是否存在四邊形ADFB是正方形?如果存在,求OA的長和點(diǎn)B的坐標(biāo);如果不存在,請說明理由.
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