Question

（1999•河北）如圖，正方形OABC的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)，且OA和AB邊所在的直線的解析式分別為：y=x和y=-x+．D、E分別為邊OC和AB的中點(diǎn)，P為OA邊上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P與點(diǎn)O不重合），連接DE和CP，其交點(diǎn)為Q．
（1）求證：點(diǎn)Q為△COP的外心；
（2）求正方形OABC的邊長；
（3）當(dāng)⊙Q與AB相切時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）要證點(diǎn)Q為△COP的外心，需證QC=QP=QO，而△COP中，DQ為中位線，則即可得證；
（2）由OA和AB邊的解析式求出A點(diǎn)坐標(biāo)，由兩點(diǎn)之間坐標(biāo)公式求出OA的長，即正方形邊長；
（3）當(dāng)⊙Q與AB相切時(shí)，作出⊙Q，由切線和割線的關(guān)系，求出P點(diǎn)坐標(biāo)．
解答：（1）證明：∵D、E分別為正方形OABC中OC、AB的中點(diǎn)，
∴DE∥OA．
∴Q也是CP的中點(diǎn)．
又∵CP是Rt△COP的斜邊，
∴點(diǎn)Q為△COP的外心．

（2）解：由方程組
解得，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（，）．
過點(diǎn)A作AF⊥Ox軸，垂足為點(diǎn)F．
∴OF=，AF=．
由勾股定理，得OA==．
∴正方形OABC的邊長為．

（3）解：如圖，當(dāng)△COP的外接圓⊙Q與AB相切時(shí)，
∵圓心Q在直線DE上，DE⊥AB，
∴E為⊙Q與AB相切的切點(diǎn)．
又∵AE和APO分別是⊙Q的切線與割線，
∴AE²=AP•AO．
∵OA=，AE=OA，
∴AP=OA=，
∴當(dāng)⊙Q與AB相切時(shí)，OP=-=，
作PH⊥Ox軸，垂足為H．
∵PH∥AF，∴
∴OH==，
PH==
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的問題較為復(fù)雜，是一次函數(shù)和幾何知識(shí)相結(jié)合的問題，同學(xué)們要注意幾何知識(shí)的熟練掌握．