【題目】如圖,在一張矩形紙片ABCD中,AB=4,BC=8,點(diǎn)E,F(xiàn)分別在AD,BC上,將紙片ABCD沿直線EF折疊,點(diǎn)C落在AD上的一點(diǎn)H處,點(diǎn)D落在點(diǎn)G處,有以下四個(gè)結(jié)論:
①四邊形CFHE是菱形;
②EC平分∠DCH;
③線段BF的取值范圍為3≤BF≤4;
④當(dāng)點(diǎn)H與點(diǎn)A重合時(shí),EF=2
以上結(jié)論中,你認(rèn)為正確的有 . (填序號(hào))

【答案】①③④
【解析】解:∵FH與CG,EH與CF都是矩形ABCD的對(duì)邊AD、BC的一部分,

∴FH∥CG,EH∥CF,

∴四邊形CFHE是平行四邊形,

由翻折的性質(zhì)得,CF=FH,

∴四邊形CFHE是菱形,(故①正確);

∴∠BCH=∠ECH,

∴只有∠DCE=30°時(shí)EC平分∠DCH,(故②錯(cuò)誤);

點(diǎn)H與點(diǎn)A重合時(shí),設(shè)BF=x,則AF=FC=8﹣x,

在Rt△ABF中,AB2+BF2=AF2,

即42+x2=(8﹣x)2,

解得x=3,

點(diǎn)G與點(diǎn)D重合時(shí),CF=CD=4,

∴BF=4,

∴線段BF的取值范圍為3≤BF≤4,(故③正確);

過(guò)點(diǎn)F作FM⊥AD于M,

則ME=(8﹣3)﹣3=2,

由勾股定理得,

EF= = =2 ,(故④正確);

綜上所述,結(jié)論正確的有①③④共3個(gè),

故答案為①③④.

①先判斷出四邊形CFHE是平行四邊形,再根據(jù)翻折的性質(zhì)可得CF=FH,然后根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形證明,判斷出①正確;
②根據(jù)菱形的對(duì)角線平分一組對(duì)角線可得∠BCH=∠ECH,然后求出只有∠DCE=30°時(shí)EC平分∠DCH,判斷出②錯(cuò)誤;
③點(diǎn)H與點(diǎn)A重合時(shí),設(shè)BF=x,表示出AF=FC=8-x,利用勾股定理列出方程求解得到BF的最小值,點(diǎn)G與點(diǎn)D重合時(shí),CF=CD,求出BF=4,然后寫(xiě)出BF的取值范圍,判斷出③正確;
④過(guò)點(diǎn)F作FM⊥AD于M,求出ME,再利用勾股定理列式求解得到EF,判斷出④正確。

練習(xí)冊(cè)系列答案
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