Question

5．如圖，在矩形ABCD中，點P在邊CD上，連接AP，將矩形ABCD沿AP折疊，點B，點C的對應(yīng)點分別是點E，點F，延長FP交邊AB于點G，AE交邊CD于點H．
（1）求證：四邊形AGPH是菱形；
（2）若AB=4，BC=1，設(shè)AH=x，直接寫出x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用平行四邊形的判定方法得出四邊形AGPH是平行四邊形，進而得出AH=PH，進而得出平行四邊形AGPH是菱形；
（2）利用當H與D點重合時，當F點與C點重合時，分別得出x的值，進而得出答案．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∵AP是折痕，且延長FP交邊AB于點G，
∴FG∥AH，
∴四邊形AGPH是平行四邊形，
∵AB∥CD，
∴∠APH=∠PAG，
∵∠PAG=∠PAG，
∴∠PAH=∠APH，
∴AH=PH，
∴平行四邊形AGPH是菱形；

（2）解：當H與D點重合時，AH=AD=x=1，
當F點與C點重合時，可得AH=HC=x，
則DH=4-x，
故1²+（4-x）²=x²，
解得：x=$\frac{17}{8}$，
故x的取值范圍是：1≤x≤$\frac{17}{8}$．

點評 此題主要考查了翻折變換的性質(zhì)以及菱形的判定和矩形的性質(zhì)等知識，正確應(yīng)用矩形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．