【題目】(1)閱讀理解:

如圖①,在ABC中,若AB=10,AC=6,求BC邊上的中線AD的取值范圍.

解決此問題可以用如下方法:延長AD到點(diǎn)E使DE=AD,再連接BE(或?qū)?/span>ACD繞著點(diǎn)D逆時針旋轉(zhuǎn)180°得到EBD),把AB、AC,2AD集中在ABE中,利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷.

中線AD的取值范圍是 ;

(2)問題解決:

如圖②,在ABC中,D是BC邊上的中點(diǎn),DEDF于點(diǎn)D,DE交AB于點(diǎn)E,DF交AC于點(diǎn)F,連接EF,求證:BE+CFEF;

(3)問題拓展:

如圖③,在四邊形ABCD中,B+D=180°,CB=CD,BCD=140°,以為頂點(diǎn)作一個70°角,角的兩邊分別交AB,AD于E、F兩點(diǎn),連接EF,探索線段BE,DF,EF之間的數(shù)量關(guān)系,并加以證明.

【答案】(1)2AD8;(2)證明見解析;(3)BE+DF=EF.

【解析】

試題分析:(1)延長AD至E,使DE=AD,由SAS證明ACD≌△EBD,得出BE=AC=6,在ABE中,由三角形的三邊關(guān)系求出AE的取值范圍,即可得出AD的取值范圍;

(2)延長FD至點(diǎn)M,使DM=DF,連接BM、EM,同(1)得BMD≌△CFD,得出BM=CF,由線段垂直平分線的性質(zhì)得出EM=EF,在BME中,由三角形的三邊關(guān)系得出BE+BMEM即可得出結(jié)論;

(3)延長AB至點(diǎn)N,使BN=DF,連接CN,證出NBC=D,由SAS證明NBC≌△FDC,得出CN=CF,NCB=FCD,證出ECN=70°=ECF,再由SAS證明NCE≌△FCE,得出EN=EF,即可得出結(jié)論.

試題解析:(1)解:延長AD至E,使DE=AD,連接BE,如圖①所示:

AD是BC邊上的中線,BD=CD,在BDE和CDA中,BD=CD,BDE=CDA,DE=AD,∴△BDE≌△CDA(SAS),BE=AC=6,在ABE中,由三角形的三邊關(guān)系得:AB﹣BEAEAB+BE,10﹣6AE10+6,即4AE16,2AD8;

故答案為:2AD8;

(2)證明:延長FD至點(diǎn)M,使DM=DF,連接BM、EM,如圖②所示:

同(1)得:BMD≌△CFD(SAS),BM=CF,DEDF,DM=DF,EM=EF,在BME中,由三角形的三邊關(guān)系得:BE+BMEM,BE+CFEF;

(3)解:BE+DF=EF;理由如下:

延長AB至點(diǎn)N,使BN=DF,連接CN,如圖3所示:

∵∠ABC+D=180°,NBC+ABC=180°,∴∠NBC=D,在NBC和FDC中,BN=DF,NBC=D,BC=DC,∴△NBC≌△FDC(SAS),CN=CF,NCB=FCD,∵∠BCD=140°,ECF=70°,∴∠BCE+FCD=70°,∴∠ECN=70°=ECF,在NCE和FCE中,CN=CF,ECN=ECF,CE=CE∴△NCE≌△FCE(SAS),EN=EF,BE+BN=EN,BE+DF=EF.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】汽車開始行駛時,油箱中有油55升,如果每小時耗油7升,則油箱內(nèi)剩余油量y()與行駛時間t(小時)的關(guān)系式為_______________

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【題目】【問題提出】

學(xué)習(xí)了三角形全等的判定方法(即“SSS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”)和直角三角形全等的判定方法(即“HL”)后,我們繼續(xù)對兩個三角形滿足兩邊和其中一邊的對角對應(yīng)相等的情形進(jìn)行研究.

【初步思考】

我們不妨將問題用符號語言表示為:在△ABC△DEF中,AC=DFBC=EF,∠B=∠E,然后,對∠B進(jìn)行分類,可分為“∠B是直角、鈍角、銳角三種情況進(jìn)行探究.

【深入探究】

第一種情況:當(dāng)∠B是直角時,△ABC≌△DEF

如圖,在△ABC△DEFAC=DF,BC=EF,∠B=∠E=90°,根據(jù)   ,可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF

第二種情況:當(dāng)∠B是鈍角時,△ABC≌△DEF

如圖,在△ABC△DEF,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E,且∠B∠E都是鈍角,請你證明:△ABC≌△DEF(提示:過點(diǎn)CCG⊥ABAB的延長線于G,過點(diǎn)FFH⊥DEDE的延長線于H).

第三種情況:當(dāng)∠B是銳角時,△ABC△DEF不一定全等.

△ABC△DEF,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E,且∠B,∠E都是銳角,請你利用圖,在圖中用尺規(guī)作出△DEF,使△DEF△ABC不全等.

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【題目】下面是某同學(xué)對多項式(x2-4x-3)(x2-4x+1)+4進(jìn)行因式分解的過程.

解:設(shè)x2-4x=y

原式=(y-3)(y+1)+4 (第一步)

= y2-2y+1 (第二步)

=(y-1)2 (第三步)

=(x2-4x-1)2 (第四步)

回答下列問題:

(1)該同學(xué)第二步到第三步運(yùn)用了因式分解的_______.

A.提取公因式法 B.平方差公式法 C.完全平方公式法

(2)請你模仿以上方法嘗試對多項式(x2+2x)(x2+2x+2)+1進(jìn)行因式分解.

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A. 3a+2a=6a B. a3a4=a12

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(1)求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo);

(2)若點(diǎn)P(m,n)為線段AB上的一個動點(diǎn)(與A、B不重合),作PE⊥x軸于點(diǎn)E,PF⊥y軸于點(diǎn)F,連接EF,問:

①若△PAO的面積為S,求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式,并寫出m的取值范圍;

②是否存在點(diǎn)P,使EF的值最小?若存在,求出EF的最小值;若不存在,請說明理由.

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