Question

已知平行四邊形，．點(diǎn)為線段上一點(diǎn)（端點(diǎn)除外），連結(jié)，連結(jié)，并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連結(jié)．
（1）當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，求證與的面積相等；
（2）當(dāng)為上任意一點(diǎn)時(shí)，與的面積還相等嗎？說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）證明：點(diǎn)為的中點(diǎn)，，
又，
，
兩點(diǎn)到的距離相等，為，
則，
，
．
（2）解：法一：當(dāng)為上任意一點(diǎn)時(shí)，設(shè)，則，
四邊形是平行四邊形，
，
，
在中，邊上的高，
　　，
　　，
又在中，邊上的高，
，
．
法二：為平行四邊形，
，
又，
，
即．

（1）S_△EFC=FC•高h(yuǎn)，S_△ABF=BF•高h(yuǎn)′，而△EFC與△ABF的面積相等且當(dāng)F為BC的中點(diǎn)，所以必須證明h=h′，而h=ABsinα，h′=EBsinα，所以證明方向轉(zhuǎn)化為求證EB=AB，而EB=CD，可利用證△EBF≌△DCF來(lái)解答，因此便可求證所求；
（2）由于△ABC和△CDE為等底等高三角形，所以S_△ABC=S_△CDE，又因?yàn)椤鰽CF和△CDF同底等高，所以S_△AFC=S_△CDF．∴S_△ABC-S_△AFC=S_△CDE-S_△CDF，即S_△ABF=S_△EFC．