Question

【題目】已知，△ABC是等邊三角形，如圖①，點(diǎn)D、E分別在射線BA、BC上，且AD=CE，求證：△BDE是等邊三角形；

（2）如圖②，點(diǎn)D在BA邊上，點(diǎn)E在射線BC上，AD=CE，連接DE交AC于點(diǎn)F，請問DF與EF的數(shù)量關(guān)系是什么？并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）DF=EF，理由見解析.

【解析】

（1）利用有一個(gè)角是60度的等腰三角形是等邊三角形進(jìn)行判定；

（2）過點(diǎn)D作DH∥BE交AC于點(diǎn)H，證得△DHF≌△ECF（ASA），可得出DF=EF.

（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，

∴∠B =60°，AB=BC,

∵AD=CE,

∴AB+AD=BC+CE,即BD=BE,

∴△BDE是等腰三角形，

又∵∠B =60°，

∴△BDE是等邊三角形；

（2）DF=EF，理由是：

如圖②，過點(diǎn)D作DH∥BE交AC于點(diǎn)H，

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠A=∠B =∠ACB=60°，

∵DH∥BE，

∴∠ADH=∠B =60°，∠AHD=∠ACB =60°，

∴△ADH是等邊三角形，

∴AD=DH,

∵AD=CE，

∴DH=CE,

∵DH∥BE，

∴∠HDF=∠E, ∠DHF=∠FCE,

在△DHF和△ECF中，

∴△DHF≌△ECF（ASA）

∴DF=EF