Question

如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線(xiàn)AC、BD相交于點(diǎn)O，直線(xiàn)MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)O，設(shè)銳角∠DOC=∠，將△DOC以直線(xiàn)MN為對(duì)稱(chēng)軸翻折得到△D’OC’，直線(xiàn)A D’、B C’相交于點(diǎn)P．
（Ⅰ）當(dāng)四邊形ABCD是矩形時(shí)，如圖1，請(qǐng)猜想A D’、B C’的數(shù)量關(guān)系以及∠APB與∠α的大小關(guān)系；
（Ⅱ）當(dāng)四邊形ABCD是平行四邊形時(shí)，如圖2，（1）中的結(jié)論還成立嗎？
（Ⅲ）當(dāng)四邊形ABCD是等腰梯形時(shí)，如圖3，∠APB與∠α有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)證明．

Answer 1

（Ⅰ）A D’=B C’，∠APB=∠α．                     
（Ⅱ） A D’=B C’仍然成立，∠APB=∠α不一定成立． 
（Ⅲ）∠APB=180°-∠α．                    
證明：如圖3，設(shè)OC’，PD’交于點(diǎn)E．
∵ 將△DOC以直線(xiàn)MN為對(duì)稱(chēng)軸翻折得到△D’OC’，
∴ △DOC≌△D’OC’，
∴ OD=OD’， OC=OC’，∠DOC=∠D’OC’．
∵ 四邊形ABCD是等腰梯形，
∴ AC=BD，AB="CD," ∠ABC= ∠DCB．
∵ BC=CB，
∴ △ABC≌△DCB．
∴ ∠DBC=∠ACB．
∴ OB=OC，OA=OD．
∵ ∠AOB= ∠COD=∠C’O D’，
∴ ∠BOC’ = ∠D’O A．
∵ OD’=OA，OC’=OB，
∴ △D’OC’≌△AOB，             
∴ ∠OD’C’= ∠OAB ．
∵ OD’=OA，OC’=OB，∠BOC’ = ∠D’O A，
∴ ∠OD’A = ∠OAD’=∠OBC’=∠OC’ B．
∵ ∠C’EP= ∠D’EO，
∴ ∠C’PE= ∠C’OD’=∠COD=∠α．
∵∠C’PE+∠APB=180°，
∴∠APB=180°-∠α．                          

（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)及角之間的關(guān)系證明△BOD′≌△AOC′，得出對(duì)應(yīng)邊對(duì)應(yīng)角相等，推理即可得出結(jié)論；
（2）先進(jìn)行假設(shè)，然后根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及相似三角形比例關(guān)系即可得出答案；
（3）易證△BOD′≌△C′OA，則AC′=BD′，∠OBD′=∠OC′A≠∠OAC′，從而得出∠AMB≠α．