【題目】如圖,二次函數(shù) 的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(4,0),B(﹣4,﹣4),且與y軸交于點(diǎn)C.

(1)試求此二次函數(shù)的解析式;
(2)試證明:∠BAO=∠CAO(其中O是原點(diǎn));
(3)若P是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與A、B重合),過P作y軸的平行線,分別交此二次函數(shù)圖象及x軸于Q、H兩點(diǎn),試問:是否存在這樣的點(diǎn)P,使PH=2QH?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

【答案】
(1)解:∵點(diǎn)A(4,0)與B(﹣4,﹣4)在二次函數(shù)圖象上,

解得

∴二次函數(shù)解析式為y=﹣ x2+ x+2.


(2)解:過B作BD⊥x軸于點(diǎn)D,由(1)得C(0,2),

則在Rt△AOC中,tan∠CAO= = =

又在Rt△ABD中,tan∠BAD= = =

∵tan∠CAO=tan∠BAD,

∴∠CAO=∠BAO.


(3)解:由點(diǎn)A(4,0)與B(﹣4,﹣4),可得直線AB的解析式為y= x﹣2,

設(shè)P(x, x﹣2),(﹣4<x<4);

則Q(x,﹣ x2+ x+2),

∴PH=| x﹣2|=2﹣ x,QH=|﹣ x2+ x+2|.

∴2﹣ x=2|﹣ x2+ x+2|.

當(dāng)2﹣ x=﹣ x2+x+4,

解得x1=﹣1,x2=4(舍去),

∴P(﹣1,﹣

當(dāng)2﹣ x= x2﹣x﹣4,

解得x1=﹣3,x2=4(舍去),

∴P(﹣3,﹣ ).

綜上所述,存在滿足條件的點(diǎn),它們是P1(﹣1,﹣ )與P2(﹣3,﹣ ).


【解析】(1)利用待定系數(shù)法把AB坐標(biāo)代入拋物線解析式即可;(2)求出這兩個(gè)銳角的正切值,反過來由值相等可以推得角相等;(3)豎直線段的長(zhǎng)可轉(zhuǎn)化為y-y,HQ的長(zhǎng)可分類討論HQ=yH-yQ或HQ=yQ-yH,即可求出結(jié)果.

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①abc=0,②a+b+c>0,③b=3a, ④4ac—b2<0;其中正確的結(jié)論有( )


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C.3個(gè)
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