Question

如圖，直線EF將矩形紙片ABCD分成面積相等的兩部分，E、F分別與BC交于點E，與AD交于點F（E，F(xiàn)不與頂點重合），設AB=a，AD=b，BE=x．
（Ⅰ）求證：AF=EC；
（Ⅱ）用剪刀將紙片沿直線EF剪開后，再將紙片ABEF沿AB對稱翻折，然后平移拼接在梯形ECDF的下方，使一底邊重合，直腰落在邊DC的延長線上，拼接后，下方的梯形記作EE′B′C．
（1）求出直線EE′分別經(jīng)過原矩形的頂點A和頂點D時，所對應的x：b的值；
（2）在直線EE′經(jīng)過原矩形的一個頂點的情形下，連接BE′，直線BE′與EF是否平行？你若認為平行，請給予證明；你若認為不平行，請你說明當a與b滿足什么關(guān)系時，它們垂直？

Answer 1

分析：（Ⅰ）由AB=a，AD=b，BE=x，S_梯形ABEF=S_梯形CDFE，結(jié)合梯形的面積公式可證得AF=EC；
（Ⅱ）（1）根據(jù)題意，畫出圖形，結(jié)合梯形的性質(zhì)求得x：b的值；
（2）直線EE′經(jīng)過原矩形的頂點D時，可證明四邊形BE′EF是平行四邊形，則BE′∥EF；當直線EE′經(jīng)過原矩形的頂點A時，BE′與EF不平行．

解答：（Ⅰ）證明：∵AB=a，AD=b，BE=x，S_梯形ABEF=S_梯形CDFE，
∴

1

2

a（x+AF）=

1

2

a（EC+b-AF），
∴2AF=EC+（b-x）．
又∵EC=b-x，
∴2AF=2EC．
∴AF=EC．

（Ⅱ）解：（1）當直線EE′經(jīng)過原矩形的頂點D時，如圖（一）
∵EC∥E′B′，
∴

EC

E′B′

=

DC

DB′

，
由EC=b-x，E′B′=EB=x，DB′=DC+CB′=2a，
得

b-x

x

=

a

2a

，
∴x：b=

2

3

．
當直線E′E經(jīng)過原矩形的頂點A時，如圖（二）
在梯形AE′B′D中，
∵EC∥E′B′，點C是DB′的中點，
∴CE=

1

2

（AD+E′B′），
即b-x=

1

2

（b+x），
∴x：b=

1

3

．

（2）如圖（一），當直線EE′經(jīng)過原矩形的頂點D時，BE′∥EF，
證明：連接BF，
∵FD∥BE，F(xiàn)D=BE，
∴四邊形FBED是平行四邊形，
∴FB∥DE，F(xiàn)B=DE，
又∵EC∥E′B′，點C是DB′的中點，
∴DE=EE′，
∴FB∥EE′，F(xiàn)B=EE′，
∴四邊形BE′EF是平行四邊形，
∴BE′∥EF．
如圖（二），當直線EE′經(jīng)過原矩形的頂點A時，顯然BE′與EF不平行，
設直線EF與BE′交于點G，過點E′作E′M⊥BC于M，則E′M=a，
∵x：b=

1

3

，
∴EM=

1

3

BC=

1

3

b，
若BE′與EF垂直，則有∠GBE+∠BEG=90°，
又∵∠BEG=∠FEC=∠MEE′，∠MEE′+∠ME′E=90°，
∴∠GBE=∠ME′E，
在Rt△BME′中，tan∠E′BM=tan∠GBE=

E′M

BM

=

a

2 3 b

，
在Rt△EME′中，tan∠ME′E=

EM

E′M

=

1 3 b

a

，
∴

a

2 3 b

=

1 3 b

a

．
又∵a＞0，b＞0，

a

b

=

2

3

，
∴當

a

b

=

2

3

時，BE′與EF垂直．

點評：本題是道根據(jù)平移的性質(zhì)、梯形的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)結(jié)合求解的綜合題，解題復雜，難度大．考查學生綜合運用數(shù)學知識的能力．