Question

如圖，從直角△ABC的直角頂點C作斜邊AB的三等分點的連線CE、CF．已知CE=sinθ，CF=cosθ（θ為銳角），則AB=

 

．

Answer 1

分析：作EM⊥BC，F(xiàn)N⊥BC，設(shè)AB=3x則BE=EF=FA=x；設(shè)BC=3y則BM=MN=NC=y，2ME=NF，利用勾股定理分別列出：ME²+MC²=EC²，NF²+NC²=FC²，然后將兩式相加，求得BE的長即可求得AB的長．

解答：解：作EM⊥BC，F(xiàn)N⊥BC．
∵∠C=90°，
∴∠BME=∠BNF=90°，
設(shè)AB=3x則BE=EF=FA=x
設(shè)BC=3y則BM=MN=NC=y，2ME=NF，
在Rt△CME中，ME²+MC²=EC²，即ME²+4y²=sin²α．（1）
在Rt△CNF中，NF²+NC²=FC²，即4ME²+y²=cos²α．（2）
（1）+（2）得：5ME²+5y²=1，ME²+y²=

1

5

，
在Rt△BME中：BE²=BM²+ME²，即：x²=y²+ME²=

1

5

，
∴AB=3BE=

3 5

5

．
故答案為：

3 5

5

．

點評：此題主要考查學生對勾股定理和銳角三角函數(shù)等知識點的理解和掌握，解答此題的關(guān)鍵是設(shè)AB=3x則BE=EF=FA=x；設(shè)BC=3y則BM=MN=NC=y，2ME=NF，此題難度較大，屬于難題．