Question

【題目】已知拋物線p：y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)為C，與x軸相交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為C′，我們稱以A為頂點(diǎn)且過點(diǎn)C′，對(duì)稱軸與y軸平行的拋物線為拋物線p的“夢(mèng)之星”拋物線，直線AC′為拋物線p的“夢(mèng)之星”直線．若一條拋物線的“夢(mèng)之星”拋物線和“夢(mèng)之星”直線分別是y=x2+2x+1和y=2x+2，則這條拋物線的解析式為 ．

Answer 1

【答案】y=x2﹣2x﹣3
【解析】解：∵y=x2+2x+1=（x+1）2，

∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，0），

解方程組 得 或 ，

∴點(diǎn)C′的坐標(biāo)為（1，4），

∵點(diǎn)C和點(diǎn)C′關(guān)于x軸對(duì)稱，

∴C（1，﹣4），

設(shè)原拋物線解析式為y=a（x﹣1）2﹣4，

把A（﹣1，0）代入得4a﹣4=0，解得a=1，

∴原拋物線解析式為y=（x﹣1）2﹣4=x2﹣2x﹣3．

所以答案是y=x2﹣2x﹣3．

【考點(diǎn)精析】掌握二次函數(shù)的性質(zhì)和拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)是解答本題的根本，需要知道增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而減��；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而減��；一元二次方程的解是其對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函數(shù)中表示圖像與x軸是否有交點(diǎn)．當(dāng)b2-4ac>0時(shí)，圖像與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)b2-4ac=0時(shí)，圖像與x軸有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)b2-4ac<0時(shí)，圖像與x軸沒有交點(diǎn)．