Question

如圖，正方形ABCD中，E為AB邊上一點(diǎn)，過點(diǎn)D作DF⊥DE，與BC延長線交于點(diǎn)F．連接EF，與CD邊交于點(diǎn)G，與對角線BD交于點(diǎn)H．
（1）若BF=BD=，求BE的長；
（2）若∠ADE=2∠BFE，求證：FH=HE+HD．

Answer 1

【答案】分析：（1）由四邊形ABCD正方形，BF=BD=，由勾股定理即可求得BC的長，又由DF⊥DE，易證得△ADE≌△CDF，即可求得BE的長；
（2）首先在FE上截取一段FI，使得FI=EH，由△ADE≌△CDF，易證得△DEH≌△DFI，即可得DH=DI，又由∠ADE=2∠BFE，易證得△DHI為等邊三角形，即可得DH=HI，繼而可得FH=HE+HD．
解答：（1）解：∵四邊形ABCD正方形，
∴∠BCD=90°，BC=CD，
∴Rt△BCD中，BC²+CD²=BD²，
即BC²=（）²-（BC）²，
∴BC=AB=1，
∵DF⊥DE，
∴∠ADE+∠EDC=90°=∠EDC+∠CDF，
∴∠ADE=∠CDF，
在△ADE和△CDF中，
∵，
∴△ADE≌△CDF（ASA），
∴AE=CF=BF-BC=-1，
∴BE=AB-AE=1-（-1）=2-；

（2）證明：在FE上截取一段FI，使得FI=EH，
∵△ADE≌△CDF，
∴DE=DF，
∴△DEF為等腰直角三角形，
∴∠DEF=∠DFE=45°=∠DBC，
∵∠DHE=∠BHF，
∴∠EDH=∠BFH（三角形的內(nèi)角和定理），
在△DEH和△DFI中，
∵，
∴△DEH≌△DFI（SAS），
∴DH=DI，
又∵∠HDE=∠BFE，∠ADE=2∠BFE，
∴∠HDE=∠BFE=∠ADE，
∵∠HDE+∠ADE=45°，
∴∠HDE=15°，
∴∠DHI=∠DEH+∠HDE=60°，
即△DHI為等邊三角形，
∴DH=HI，
∴FH=FI+HI=HE+HD．
點(diǎn)評：此題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)以及等邊三角形的判定與性質(zhì)．此題綜合性較強(qiáng)，難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．