Question

【題目】如圖1，在△ABC中，AB=AC=2，∠A=90°，將一塊與△ABC全等的三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)C上，一直角邊與BC重疊．

（1）操作1：固定△ABC，將三角板沿C→B方向平移，使其直角頂點(diǎn)落在BC的中點(diǎn)M，如圖2所示，探究：三角板沿C→B方向平移的距離為；
（2）操作2：在（1）的情況下，將三角板BC的中點(diǎn)M順時針方向旋轉(zhuǎn)角度a（0°＜a＜90°），如圖3所示，探究：設(shè)三角形板兩直角邊分別與AB、AC交于點(diǎn)P、Q，觀察四邊形MPAQ形狀的變化，問：四邊形MPAQ的面積S是否改變，若不變，求其面積；若改變，試說明理由；

（3）在（2）的情形下，連PQ，則當(dāng)△MPQ的面積等于四邊形MPAQ的面積的一半時，四邊形MPAQ的形狀為 ， 此時BP= ．

Answer 1

【答案】
（1）
（2）

答：四邊形MPAQ的面積S不變．

解法1：連接AM，

∵AB=AC=2，∠A=90°，

∴S△ABC= ABAC= ×2×2=2

又由（1）知，點(diǎn)M是BC中點(diǎn)

∴∠CAM=∠BAM=∠B=45°，AM⊥BC，

∴AM=BM，∠BMP+∠PMA=90°

∴S△ABM= S△ABC=1

又∠AMQ+∠PMA=90°

∴∠AMQ=∠BMP

∴△AMQ≌△BMP

∴S四邊形MPAQ=S△ABM=1，

解法2：如圖3，作MD⊥AC于D，作ME⊥AB于E，

∵AB=AC=2，∠A=90°

∴∠B=∠C=45°，四邊形ADME是矩形，

S△ABC= ABAC= ×2×2=2

又∵點(diǎn)M是BC中點(diǎn)

∴Rt△CMD≌Rt△BME

∴四邊形ADME是正方形，易求S正方形ADME= S△ABC=1

∴MD=ME，∠DMQ+∠QME=90°，

又∠EMP+∠QME=90°

∴∠DMQ=∠EMP

∴△DMQ≌△EMP

∴S四邊形MPAQ=S正方形ADME=1，

（3）正方形；1
【解析】（1.）解：（1）BC= =2 ，
∴CM= BC= 故三角板沿C→B方向平移的距離為： ；
所以答案是： ；
（3.）設(shè)AQ=PB=x，AP=2﹣x，
S△MPQ=S四邊形MAPQ﹣S△APQ=1﹣ AQAP=1﹣ x（2﹣x）= x2﹣x+1=
解得，x=1．
∴PB=1，
∴AQ=PB=AP=1，
∴點(diǎn)P是AB的中點(diǎn)，
∵M(jìn)是BC中點(diǎn)，
∴PM∥AQ，
∴∠MPA=90°，
∵∠PAQ=∠PMQ=90°，
∴四邊形MPAQ是矩形，
∵AQ=AP，
∴矩形MPAQ是正方形，
所以答案是：正方形，1．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解三角形的面積的相關(guān)知識，掌握三角形的面積=1/2×底×高，以及對相似三角形的性質(zhì)的理解，了解對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形．