Question

【題目】在△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中點(diǎn)，過點(diǎn)B作∠CBE=∠A，BE與射線CA相交于點(diǎn)E，與射線CD相交于點(diǎn)F．

（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)E在線段CA上時(shí)，求證：BE⊥CD；

（2）若BE=CD，那么線段AC與BC之間具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并證明你所得到的結(jié)論；

（3）若△BDF是等腰三角形，求∠A的度數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）AC=2BC；（3）22.5°或67.5°．

【解析】

（1）根據(jù)角之間的等量關(guān)系及中點(diǎn)的特點(diǎn)即可得出答案；

（2）根據(jù)題意易證△BCE∽△ACB，根據(jù)相似三角形比例關(guān)系即可得出結(jié)論；

（3）分①點(diǎn)E在線段CA上時(shí)；②點(diǎn)E在線段CA延長線上討論求解．

（1）∵∠ACB=90°，D是AB的中點(diǎn)，∴CD=AD，∴∠A=∠DCA．

∵∠CBE=∠A，∴∠DCA=∠CBE．

∵∠CBE+∠BEC=90°，∴∠BEC+∠DCA =90°，∴BE⊥CD；

（2）線段AC與BC之間的數(shù)量關(guān)系是：AC=2BC．

∵∠CBE=∠A，∠BCE=∠ACB，∴△BCE∽△ACB，∴．

∵BE=CD，，∴，∴AC=2BC．

（3）∵△BDF是等腰三角形，∠BFD=90°，∴∠BDF=45°．

①當(dāng)點(diǎn)E在線段CA上時(shí)，如圖1，∠A∠BDF=22.5°；

②當(dāng)點(diǎn)E在線段CA延長線上時(shí)，如圖2，∠CDA=∠BDF=45°，∠BAC．

綜上所述：∠BAC的度數(shù)為22.5°或67.5°．