Question

【題目】如圖 1，在平面直角坐標(biāo)系中，圖形 W在坐標(biāo)軸上的投影長度定義如下：設(shè)點(diǎn) P( , ) ，Q( , ) 是圖形 W 上的任意兩點(diǎn)，若的最大值為 m ，則

圖形 W 在 x 軸上的投影長度為 lx m ；若的最大值為 n ，則圖形 W 在 y 軸上的

投影長度為 ly n ．如圖 1，圖形 W 在 x 軸上的投影長度為 lx 4 ；在 y 軸上的 投影長度為 ly 3 ．

（1）已知點(diǎn) A(1, 2) ， B(2, 3) ， C (3,1) ，如圖 2 所示，若圖形 W 為四邊形 OABC ，

則 lx ， ly ；

（2）已知點(diǎn) C (, 0) ，點(diǎn) D 在直線 y x 1(x 0) 上，若圖形 W 為 OCD ，當(dāng) lx ly

時，求點(diǎn) D 的坐標(biāo)；

（3 ）若圖形 W 為函數(shù) y x 2(a x b) 的圖象，其中 (0 a b) ，當(dāng)該圖形滿足

lx ly 1時，請直接寫出 a 的取值范圍．

圖 1 圖 2

Answer 1

【答案】（1）4,3;(2)（-，）或（-10，-14）;(3) .

【解析】

（1）確定出點(diǎn)A在y軸的投影的坐標(biāo)、點(diǎn)B在x軸上投影的坐標(biāo)，于是可求得問題的答案；
（2）過點(diǎn)P作PD⊥x軸，垂足為P．設(shè)D（x，2x+6），則PD=|2x+6|．PC=|3-x|，然后依據(jù)lx=ly，列方程求解即可；
（3）設(shè)A（a，a2）、B（b，b2）．分別求得圖形在y軸和x軸上的投影，由lx=ly可得到b+a=1，然后根據(jù)0≤a＜b可求得a的取值范圍．

解：（1）∵A（3，3），
∴點(diǎn)A在y軸上的正投影的坐標(biāo)為（0，3）．
∴△OAB在y軸上的投影長度ly=3．
∵B（4，1），
∴點(diǎn)B在x軸上的正投影的坐標(biāo)為（4，0）．
∴△OAB在x軸上的投影長度lx=4．
故答案為：4；3．
（2）如圖1所示；過點(diǎn)P作PD⊥x軸，垂足為P．

設(shè)D（x，2x+6），則PD=2x+6．
∵PD⊥x軸，
∴P（x，0）．
∴PC=4-x．
∵lx=ly，
∴2x+6=4-x，解得；x=-．
∴D（-，）．
如圖2所示：過點(diǎn)D作DP⊥x軸，垂足為P．

設(shè)D（x，2x+6），則PD=-2x-6．
∵PD⊥x軸，
∴P（x，0）．
∴PC=4-x．
∵lx=ly，
∴-2x-6=4-x，解得；x=-10．
∴D（-10，-14）．
綜上所述，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-，）或（-10，-14）．
（3）如圖3所示：

設(shè)A（a，a2）、B（b，b2）．則CE=b-a，DF=b2-a2=（b+a）（b-a）．
∵lx=ly，
∴（b+a）（b-a）=b-a，即（b+a-1）（b-a）=0．
∵b≠a，
∴b+a=1．
又∵0≤a＜b，
∴a+a＜1，
∴0≤a＜.