Question

如圖，AB是⊙O的直徑，CB=CD，AC與BD相交于F，CF=2，F(xiàn)A=4．
（1）求證：△BCF∽△ACB．
（2）求BC的長．
（3）延長AB至E，使BE=BO，連接EC，試判斷EC與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）由題意可知，∠D=∠CBD，∠A=∠D，通過等量代換推出∠A=∠CBD，即可推出結(jié)論，（2）由（1）所推出的結(jié)論，推出

BC

CF

=

AC

BC

，結(jié)合已知條件，即可推出BC的長度，（3）連接OC，根據(jù)垂徑定理，即可推出OC⊥BD，然后通過求證

BE

AB

=

CF

FA

，推出BF∥EC，即得，OC⊥EC，即可推出結(jié)論．

解答：（1）證明：∵CB=CD，
∴∠D=∠CBD，
∵∠A=∠D，
∴∠A=∠CBD，
又∵∠ACB=∠BCF，
∴△BCF∽△ACB．

（2）解：∵△BCF∽△ACB，
∴

BC

CF

=

AC

BC

，
又∵CF=2，F(xiàn)A=4，
∴

BC

2

=

2+4

BC

，
∴BC₁=2

3

或BC₂=-2

3

（舍去），
∴BC=2

3

，

（3）解：EC與⊙O相切．
證明：連接OC，
∵CB=CD，
∴

CD

=

CB

，
∴OC⊥BD，
又∵BE=BO，AB是⊙O的直徑，
∴OB=OA=BE，
∴

BE

AB

=

1

2

，
∵CF=2，F(xiàn)A=4，
∴

CF

FA

=

2

4

=

1

2

，
∴

BE

AB

=

CF

FA

，
∴BF∥EC，
∴OC⊥EC，
故EC與⊙O相切．

點評：本題主要考查圓周角定理、切線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、垂徑定理等知識點，關(guān)鍵在于（1）運用圓周角定理推出∠A=∠CBD，（2）熟練運用相似三角形的性質(zhì)推出對應(yīng)邊成比例的比例式，（3）根據(jù)垂徑定理，推出OC⊥BD，求證BF∥EC．