Question

【題目】如圖1，在四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作AB的垂線，過(guò)點(diǎn)F作CD的垂線，兩垂線交于點(diǎn)G，連接AG、BG、CG、DG，且∠AGD=∠BGC．

（1）求證：AD=BC；
（2）求證：△AGD∽△EGF；
（3）如圖2 ， 若AD、BC所在直線互相垂直，求的值．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵GE是AB的垂直平分線，

∴GA=GB，

同理：GD=GC，

在△AGD和△BGC中，

GA=GB，

∠AGD=∠BGC，

GD=GC，

∴△AGD≌△BGC（SAS），

∴AD=BC；

（2）

證明：∵∠AGD=∠BGC，

∴∠AGB=∠DGC，

在△AGB和△DGC中，，

∴△AGB∽△DGC，

∴，

又∵∠AGE=∠DGF，

∴∠AGD=∠EGF，

∴△AGD∽△EGF；

（3）

解：延長(zhǎng)AD交GB于點(diǎn)M，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，如圖所示：

則AH⊥BH，

∵△AGD≌△BGC，

∴∠GAD=∠GBC，

在△GAM和△HBM中，∠GAD=∠GBC，∠GMA=∠HMB，

∴∠AGB=∠AHB=90°，

∴∠AGE=∠AGB=45°，

∴，

又∵△AGD∽△EGF，

∴．

【解析】（1）由線段垂直平分線的性質(zhì)得出GA=GB，GD=GC，由SAS證明△AGD≌△BGC，得出對(duì)應(yīng)邊相等即可；
（2）先證出∠AGB=∠DGC，由，證出△AGB∽△DGC，得出比例式，再證出∠AGD=∠EGF，即可得出△AGD∽△EGF；
（3）延長(zhǎng)AD交GB于點(diǎn)M，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，則AH⊥BH，由△AGD≌△BGC，得出∠GAD=∠GBC，再求出∠AGE=∠AHB=90°，得出∠AGE=∠AGB=45°，求出，由△AGD∽△EGF，即可得出的值．
此題考查了相似三角形的應(yīng)用和垂直平分線性質(zhì)，三角形相似，對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例。