Question

【題目】拋物線交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D.

（1）寫(xiě)出拋物線的對(duì)稱(chēng)軸及C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)（用含a的代數(shù)式表示）

（2）連接BD并以BD為直徑作⊙M，當(dāng)a=-1時(shí)，請(qǐng)判斷⊙M是否經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，并說(shuō)明理由；

（3）在（2）題的條件下，點(diǎn)P是拋物線上任意一點(diǎn)，過(guò)P作直線垂直于對(duì)稱(chēng)軸，垂足為Q. 那么是否存在這樣的點(diǎn)P，使△PQD與以B、C、D為頂點(diǎn)的三角形相似？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】

【1】 （1）過(guò)點(diǎn)C作CH⊥軸，垂足為H

∵在Rt△OAB中，∠OAB＝900，∠BOA＝300，AB＝2 ∴OB＝4，OA＝

由折疊知，∠COB＝300，OC＝OA＝

∴∠COH＝600，OH＝，CH＝3 ∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（，3）

【2】 （2）∵拋物線（≠0）經(jīng)過(guò)C（，3）、A（，0）兩點(diǎn)

∴解得：

∴此拋物線的解析式為：

【3】 （3）存在. 因?yàn)?/span>的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（，3）即為點(diǎn)C，MP⊥軸，設(shè)垂足為N，PN＝，因?yàn)?/span>∠BOA＝300，所以ON＝， ∴P（，）

作PQ⊥CD，垂足為Q，ME⊥CD，垂足為E

把代入得：

∴ M（，），E（，）

同理：Q（，），D（，1）

要使四邊形CDPM為等腰梯形，只需CE＝QD

即，解得：，（舍）

∴ P點(diǎn)坐標(biāo)為（，）

∴ 存在滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P，使得四邊形CDPM為等腰梯形，此時(shí)P點(diǎn)的坐為（，） （12分）

【解析】

（1）由拋物線y=ax2+2x+3（a＜0）交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D，根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸方程與頂點(diǎn)坐標(biāo)的求解方法即可求得對(duì)稱(chēng)軸及D點(diǎn)的坐標(biāo)，又由當(dāng)x=0時(shí)，y=3，求得C點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）首先求得點(diǎn)B，C，D的坐標(biāo)，然后根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，求得BC，CD，BD的平方的值，即可得CD2+BC2=DB2，由勾股定理的逆定理，可求得∠DCB=90°，又由直徑所對(duì)的圓周角是直角，可得⊙M是經(jīng)過(guò)點(diǎn)C；

（3）首先求得CD，BC，的長(zhǎng)，然后分別從①若點(diǎn)P在對(duì)稱(chēng)軸的左側(cè)，且△PQD∽△DCB，②若點(diǎn)P在對(duì)稱(chēng)軸的左側(cè)，且△PQD∽△BCD，③若點(diǎn)P在對(duì)稱(chēng)軸的右側(cè)，且△PQD∽△DCB，④若點(diǎn)P在對(duì)稱(chēng)軸的右側(cè)，且△PQD∽△BCD去分析，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，求得方程，解方程即可求得答案．

解：（1）∵拋物線y=ax2+2x+3（a＜0）交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D．

∴對(duì)稱(chēng)軸為：x=-

∵當(dāng)x=0時(shí)，y=3，

∴C的坐標(biāo)為：（0，3），

∵D點(diǎn)的縱坐標(biāo)為：y=，

D點(diǎn)的坐標(biāo)為：（-，）；…（3分）

（2）⊙M經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，

理由：連接BC，

∵a=-1，

∴拋物線為：y=-x2+2x+3，

∴點(diǎn)D（1，4），點(diǎn)B（3，0），點(diǎn)C（0，3），

∴CD2=2，BD2=20，BC2=18，

∴CD2+BC2=DB2，

∴∠DCB=90°，

∵BD是直徑，

∴∠BCD是直徑所對(duì)的圓周角，

∴⊙M是經(jīng)過(guò)點(diǎn)C；（3分）

（3）存在. 因?yàn)?/span>的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（，3）即為點(diǎn)C，MP⊥軸，設(shè)垂足為N，PN＝，因?yàn)?/span>∠BOA＝300，所以ON＝， ∴P（，）

作PQ⊥CD，垂足為Q，ME⊥CD，垂足為E

把代入得：

∴ M（，），E（，）

同理：Q（，），D（，1）

要使四邊形CDPM為等腰梯形，只需CE＝QD

即，解得：，（舍）

∴ P點(diǎn)坐標(biāo)為（，）

∴ 存在滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P，使得四邊形CDPM為等腰梯形，此時(shí)P點(diǎn)的坐為（，） （12分）