【題目】如圖,拋物線y=﹣(其中m>0)與x軸分別交于A,B兩點(AB的右側(cè)),與y軸交于點c.

(1)求AOC的周長,(用含m的代數(shù)式表示)

(2)若點P為直線AC上的一點,且點P在第二象限,滿足OP2=PCPA,求tanAPO的值及用含m的代數(shù)式表示點P的坐標;

(3)在(2)的情況下,線段OP與拋物線相交于點Q,若點Q恰好為OP的中點,此時對于在拋物線上且介于點C與拋物線頂點之間(含點C與頂點)的任意一點M(x0,y0)總能使不等式n≤及不等式2n﹣恒成立,求n的取值范圍.

【答案】13m+3m;(2tanAPO=,P(﹣);(3n2

【解析】

1)分別令x=0y=0,計算拋物線與兩坐標軸的交點CA的坐標,再根據(jù)勾股定理計算AC的長,根據(jù)三角形的周長可得結(jié)論;

2)根據(jù)特殊三角函數(shù)值可得∠CAO=30°,證明△OPA∽△CPO,則∠POC=∠OAC=30°,可得tanAPO=,過PPEx軸于E,表示OEPE的長,根據(jù)點P在第二象限,可得P的坐標;

3)根據(jù)中點坐標公式可得Q的坐標,代入拋物線的解析式可得m的值,計算對稱軸,得x0的取值范圍,根據(jù)兩個不等式確定其解集即可.

1)當x=0時,y=﹣××(﹣3m)=m,∴C0m),∴OC=m,當y=0時,﹣=0,解得:x1=﹣x2=3m

AB的右側(cè),其中m0,∴A3m,0),由勾股定理得:AC===2m,∴△AOC的周長=OA+OC+AC=3m+m+2m=3m+3m;

2RtAOC中,tanOAC===,∴∠CAO=30°.

OP2=PCPA,∴

∵∠OPC=∠OPC,∴△OPA∽△CPO,∴∠POC=∠OAC=30°.

∵∠ACO=∠POC+∠APO,∴∠APO=60°﹣30°=30°,∴tanAPO=

PPEx軸于E

∵∠APO=∠OAC=30°,∴PO=OA=3m,∠POE=60°,RtPEO中,∠EPO=30°,∴OE=OP=,PE=

∵點P在第二象限,∴P(﹣);

3)由(2)知:P(﹣).

∵點Q恰好為OP的中點,∴Q(﹣).

Q在拋物線上,則=﹣,解得:m=,∴拋物線的解析式為:y=﹣x+)(x3)=﹣,對稱軸是:x=﹣=,作拋物線的對稱軸交拋物線于點F

M在點C與頂點F之間(含點C與頂點F),∴0x0,n,設w1=

10,∴w1x0的增大而增大,∴當x0=時,w1有最大值,即有最小值為2,∴n2,對于不等式2nn≥﹣2,n≥﹣2x02+,設w2=﹣2x02+

∵﹣20,∴w2有最大值.

0,∴當x0=時,w2有最大值為,∴n

綜上所述:n的取值范圍是n2

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