【題目】(1)如圖1,∠MAN=90°,射線AE在這個(gè)角的內(nèi)部,點(diǎn)B、C分別在∠MAN的邊AM、AN上,且AB=AC,CF⊥AE于點(diǎn)F,BD⊥AE于點(diǎn)D.求證:△ABD≌△CAF;
(2)如圖2,點(diǎn)B、C分別在∠MAN的邊AM、AN上,點(diǎn)E、F都在∠MAN內(nèi)部的射線AD上,∠1、∠2分別是△ABE、△CAF的外角.已知AB=AC,且∠1=∠2=∠BAC.求證:△ABE≌△CAF;
(3)如圖3,在△ABC中,AB=AC,AB>BC.點(diǎn)D在邊BC上,CD=2BD,點(diǎn)E、F在線段AD上,∠1=∠2=∠BAC.若△ABC的面積為15,求△ACF與△BDE的面積之和.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2)證明見(jiàn)解析;(3)△ACF與△BDE的面積之和5.
【解析】如圖①,求出∠BDA=∠AFC=90°,∠ABD=∠CAF,根據(jù)AAS證兩三角形全等即可;圖②根據(jù)已知和三角形外角性質(zhì)求出∠ABE=∠CAF,∠BAE=∠FCA,根據(jù)ASA證兩三角形全等即可;圖③求出△ABD的面積,根據(jù)△ABE≌△CAF得出△ACF與△BDE的面積之和等于△ABD的面積,即可得出答案.
證明:如圖①,
∵CF⊥AE,BD⊥AE,∠MAN=90°,
∴∠BDA=∠AFC=90°,
∴∠ABD+∠BAD=90°,∠ABD+∠CAF=90°,
∴∠ABD=∠CAF,
在△ABD和△CAF中,
∠ADB=∠CFA,∠ABD=∠CAF,AB=AC,
∴△ABD≌△CAF(AAS);
(2)∵∠1=∠2=∠BAC,∠1=∠BAE+∠ABE,∠BAC=∠BAE+∠CAF,∠2=∠FCA+∠CAF,
∴∠ABE=∠CAF,∠BAE=∠FCA,
在△ABE和△CAF中,
∠ABE=∠CAF,AB=AC,∠BAE=∠FCA,
∴△ABE≌△CAF(ASA);
(3)∵△ABC的面積為15,CD=2BD,
∴△ABD的面積是: ×15=5,
由(2)中證出△ABE≌△CAF,
∴△ACF與△BDE的面積之和等于△ABE與△BDE的面積之和,即等于△ABD的面積,是5.
“點(diǎn)睛”本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定,三角形的面積,三角形的外角性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn),主要考查學(xué)生的分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力,題目比較典型,證明過(guò)程有類似之處.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖1~4,在直角邊分別為3和4的直角三角形中,每多作一條斜邊上的高就增加一個(gè)三角形的內(nèi)切圓,依此類推,圖10中有10個(gè)直角三角形的內(nèi)切圓,它們的面積分別記為S1,S2,S3,…,S10,則S1+S2+S3+…+S10= .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知拋物線與y軸交于點(diǎn)C,與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A(﹣4,0),B(1,0).
(1)求拋物線的解析式;
(2)已知點(diǎn)P在拋物線上,連接PC,PB,若△PBC是以BC為直角邊的直角三角形,求點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)已知點(diǎn)E在x軸上,點(diǎn)F在拋物線上,是否存在以A,C,E,F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?若存在,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】數(shù)軸上A,B兩點(diǎn)的距離是5.若點(diǎn)A表示的數(shù)為1,則點(diǎn)B表示的數(shù)為( )
A. 6 B. ﹣4 C. 6或﹣4 D. ﹣6
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知方程x2+x=2,則下列說(shuō)法中,正確的是( )
A.方程兩根和是1
B.方程兩根積是2
C.方程兩根和是﹣1
D.方程兩根積比兩根和大2
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知拋物線y=x2+(2m+1)x+m(m﹣3)(m為常數(shù),﹣1≤m≤4).A(﹣m﹣1,y1),B(,y2),C(﹣m,y3)是該拋物線上不同的三點(diǎn),現(xiàn)將拋物線的對(duì)稱軸繞坐標(biāo)原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到直線a,過(guò)拋物線頂點(diǎn)P作PH⊥a于H.
(1)用含m的代數(shù)式表示拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo);
(2)若無(wú)論m取何值,拋物線與直線y=x﹣km(k為常數(shù))有且僅有一個(gè)公共點(diǎn),求k的值;
(3)當(dāng)1<PH≤6時(shí),試比較y1,y2,y3之間的大。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,以BC為直徑的⊙O交斜邊AB于點(diǎn)M,若H是AC的中點(diǎn),連接MH.
(1)求證:MH為⊙O的切線.
(2)若MH=,tan∠ABC=,求⊙O的半徑.
(3)在(2)的條件下分別過(guò)點(diǎn)A、B作⊙O的切線,兩切線交于點(diǎn)D,AD與⊙O相切于N點(diǎn),過(guò)N點(diǎn)作NQ⊥BC,垂足為E,且交⊙O于Q點(diǎn),求線段NQ的長(zhǎng)度.
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