Question

【題目】已知關于x的方程（m+1）x2+2mx+（m﹣3）=0有實數根．

（1）求m的取值范圍；

（2）m為何值時，方程有兩個相等的實數根？并求出這兩個實數根．

Answer 1

【答案】(1) 當m≥﹣ 時，方程（m+1）x2+2mx+（m﹣3）=0有實數根；(2) m=﹣, x1=x2=﹣3

【解析】

（1）根據題意，分原方程是一元一次方程和一元二次方程兩種情況分析討論即可；

（2）由題意可知，此時原方程是一元二次方程，根據一元二次方程根的判別式求出m的值，并將所得的m的值代入原方程，再解所得方程即可.

（1）關于x的方程（m+1）x2+2mx+（m﹣3）=0有實數根，分兩種情況討論如下：

①當m+1=0即m=﹣1時，原方程是一元一次方程，此時方程為﹣2x﹣4=0，必有實數根；

②當m+1≠0時，此時原方程是一元二次方程，

∵此時原方程有實數根，

∴△=b2﹣4ac=（2m）2﹣4×（m+1）×（m﹣3）=8m+12≥0，解得：m≥﹣且m≠﹣1；

綜上可知，當m≥﹣ 時，方程（m+1）x2+2mx+（m﹣3）=0有實數根；

（2）∵關于x的方程（m﹣1）x2+（2m﹣1）x+m﹣2=0有兩個相等的實數根，

∴△=b2﹣4ac=（2m）2﹣4×（m+1）×（m﹣3）=8m+12=0，

解得：m=﹣ ，

將m=﹣代入原方程可得：

﹣x2﹣3x﹣=0，

兩邊同時乘以﹣2得：x2+6x+9=0，解得x1=x2=﹣3．