Question

【題目】如圖，四邊形ABCD是一個(gè)正方形.

⑴請(qǐng)你在平面內(nèi)找到一個(gè)點(diǎn)O，并連接OA、OB、OC、OD使得到△OAB、△BOC、△COD、△OAD都是等腰三角形.

⑵這樣的點(diǎn)，你能找到多少個(gè)？

⑶試寫(xiě)出你找到的等腰三角形的頂角的度數(shù).

Answer 1

【答案】(1)見(jiàn)解析；（2）9；（3）30°，60°，90°，150°

【解析】試題分析：（1）連接BC，AD交于一點(diǎn)，則根據(jù)正方形的對(duì)角線相等的性質(zhì)，OA=OB=OC=OD且AC⊥BD，可以得△OAB≌△0BC≌△OCD≌△OAD；

（2）分情況討論即可；

（3）該等腰三角形的頂角為∠AOB=90°

試題解析： (1)連接BC，AD，BC、AD交于O點(diǎn)，

則OA=OB=OC=OD，

且∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOA，

∴△OAB≌△0BC≌△OCD≌△OAD，

故對(duì)角線交點(diǎn)O即為所求O點(diǎn)；

(2) 5個(gè)，分兩種情況討論：

第一種：等腰三角形一正方形的四條邊為底邊.因?yàn)榈妊�三角形的頂點(diǎn)必在底邊的垂直平分線上，而AB、CD的垂直平分線和AD、BC的垂直平分線只有一個(gè)交點(diǎn)，即中點(diǎn)，所以O為中點(diǎn)；

第二種：等腰三角形以正方形的四條邊為腰，如圖所示，

AD=OD，BC=DO，AO=BO，同理，這樣的點(diǎn)有4個(gè)；

(3)第一種情況時(shí)，所有頂角度數(shù)都為90°，

第二種情況時(shí)，如圖所示：△DOC為等邊三角形，頂角為60°，所以相鄰的兩個(gè)頂角∠ADO=∠BCO=30°，所以第四個(gè)等邊三角形頂角∠AOB=360°-60°-150°=150°.