如圖,⊙C的內(nèi)接△AOB中,AB=AO=4,tan∠AOB=,拋物線(xiàn)y=ax2+bx經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(4,0)與點(diǎn)(-2,6).
(1)求拋物線(xiàn)的函數(shù)解析式;
(2)直線(xiàn)m與⊙C相切于點(diǎn)A交y軸于點(diǎn)D,動(dòng)點(diǎn)P在線(xiàn)段OB上,從點(diǎn)O出發(fā)向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng);同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q在線(xiàn)段DA上,從點(diǎn)D出發(fā)向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng),點(diǎn)P的速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng),點(diǎn)Q的速度為每秒2個(gè)單位長(zhǎng),當(dāng)PQ⊥AD時(shí),求運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的值;
(3)點(diǎn)R在拋物線(xiàn)位于x軸下方部分的圖象上,當(dāng)△ROB面積最大時(shí),求點(diǎn)R的坐標(biāo).
(1)y=x2-2x;(2)1.8;(3)(
,
)
【解析】
試題分析:(1)由拋物線(xiàn)y=ax2+bx經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(4,0)與點(diǎn)(-2,6)即可根據(jù)待定系數(shù)法求解;
(2)過(guò)點(diǎn)O作OF⊥AD,連接AC交OB于點(diǎn)E,由垂徑定理得AC⊥OB.根據(jù)切線(xiàn)的性質(zhì)可得AC⊥AD,即可證得四邊形OFAE是矩形,由tan∠AOB=可得sin∠AOB=
,即可求得AE、OD的長(zhǎng),當(dāng)PQ⊥AD時(shí),OP=t,DQ=2t.則在Rt△ODF中,OD=3,OF=AE=2.4,DF=DQ-FQ=DQ-OP=2t-t=t,再根據(jù)勾股定理求解;
(3)設(shè)直線(xiàn)l平行于OB,且與拋物線(xiàn)有唯一交點(diǎn)R(相切),此時(shí)△ROB中OB邊上的高最大,所以此時(shí)△ROB面積最大,由tan∠AOB=可得直線(xiàn)OB的解析式為y=
x,由直線(xiàn)l平行于OB,可設(shè)直線(xiàn)l解析式為y=
x+b.點(diǎn)R既在直線(xiàn)l上,又在拋物線(xiàn)上,可得
x2-2x=
x+b,再根據(jù)直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)有唯一交點(diǎn)R(相切),可得方程2x2-11x-4b=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,即可得到判別式△=0,從而可以求得結(jié)果.
(1)∵拋物線(xiàn)y=ax2+bx經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(4,0)與點(diǎn)(-2,6),
∴ ,解得a=
,b=-2
∴拋物線(xiàn)的解析式為:y=x2-2x;
(2)過(guò)點(diǎn)O作OF⊥AD,連接AC交OB于點(diǎn)E,由垂徑定理得AC⊥OB.
∵AD為切線(xiàn),
∴AC⊥AD,
∴AD∥OB.
∴四邊形OFAE是矩形,
∵tan∠AOB=
∴sin∠AOB=,
∴AE=OA·sin∠AOB=4×=2.4,
OD=OA·tan∠OAD=OA·tan∠AOB=4×=3.
當(dāng)PQ⊥AD時(shí),OP=t,DQ=2t.
則在Rt△ODF中,OD=3,OF=AE=2.4,DF=DQ-FQ=DQ-OP=2t-t=t,
由勾股定理得:DF=,
∴t=1.8秒;
(3)設(shè)直線(xiàn)l平行于OB,且與拋物線(xiàn)有唯一交點(diǎn)R(相切),
此時(shí)△ROB中OB邊上的高最大,所以此時(shí)△ROB面積最大.
∵tan∠AOB=
∴直線(xiàn)OB的解析式為y=x,
由直線(xiàn)l平行于OB,可設(shè)直線(xiàn)l解析式為y=x+b.
∵點(diǎn)R既在直線(xiàn)l上,又在拋物線(xiàn)上,
∴x2-2x=
x+b,化簡(jiǎn)得:2x2-11x-4b=0.
∵直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)有唯一交點(diǎn)R(相切),
∴方程2x2-11x-4b=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根
∴判別式△=0,即112+32b=0,解得b=,
此時(shí)原方程的解為x=,即xR=
,
而yR=xR2-2xR=
∴點(diǎn)R的坐標(biāo)為R(,
).
考點(diǎn):二次函數(shù)的綜合題
點(diǎn)評(píng):此類(lèi)問(wèn)題是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn),在中考中極為常見(jiàn),一般以壓軸題形式出現(xiàn),難度較大.
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