Question

如圖，⊙C經(jīng)過(guò)原點(diǎn)且與兩坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，2），D為⊙C在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)且∠ODB=60°，解答下列各題：
（1）求線段AB的長(zhǎng)及⊙C的半徑；
（2）求B點(diǎn)坐標(biāo)及圓心C的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）連接AB；由圓周角定理可知，AB必為⊙C的直徑；Rt△ABO中，易知OA的長(zhǎng)，而∠OAB=∠ODB=60°，通過(guò)解直角三角形，即可求得斜邊AB的長(zhǎng)，也就求得了⊙C的半徑；
（2）在Rt△ABO中，由勾股定理即可求得OB的長(zhǎng)，進(jìn)而可得到B點(diǎn)的坐標(biāo)；過(guò)C分別作弦OA、OB的垂線，設(shè)垂足為E、F；根據(jù)垂徑定理即可求出OE、OF的長(zhǎng)，也就得到了圓心C的坐標(biāo)．

解答：解：（1）連接AB；∵∠ODB=∠OAB，∠ODB=60°
∴∠OAB=60°，
∵∠AOB是直角，
∴AB是⊙C的直徑，∠OBA=30°；
∴AB=2OA=4，∴⊙C的半徑r=2；（5分）

（2）在Rt△OAB中，由勾股定理得：OB²+OA²=AB²，
∴OB=2

3

，∴B的坐標(biāo)為：（2

3

，0）（8分）
過(guò)C點(diǎn)作CE⊥OA于E，CF⊥OB于F，
由垂徑定理得：OE=AE=1，OF=BF=

3

，
∴CE=

3

，CF=1，
∴C的坐標(biāo)為（

3

，1）．（12分）

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了圓周角定理、垂徑定理、點(diǎn)的坐標(biāo)意義、勾股定理等知識(shí)的綜合應(yīng)用能力，綜合性較強(qiáng)，難度適中．