Question

9．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)C坐標(biāo)為（5，0），點(diǎn)B坐標(biāo)為（8，4），過點(diǎn)B作BD∥OC交y軸于點(diǎn)D，點(diǎn)A為線段BD上一點(diǎn)且AB=OC，
（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)．
（2）動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)沿射線OC以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，M為OB的中點(diǎn)，PM交線段BD于點(diǎn)N，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，試用含t的式子表示線段AN的長(zhǎng)
（3）在（2）的條件下，點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)的同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從O出發(fā)以每秒1個(gè)單位的速度沿線段OD向終點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)Q停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P隨之停止運(yùn)動(dòng)．在P、Q運(yùn)動(dòng)的過程中，線段BD上是否存在點(diǎn)R，使得以R、D、Q為頂點(diǎn)的三角形與△OPQ全等？若存在，請(qǐng)求出R點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）求出AD的長(zhǎng)即可．
（2）當(dāng)0≤t≤2.5時(shí)，如圖2中，根據(jù)AN=AB-BN，當(dāng)t＞2.5時(shí)，如圖3中，AN=BN-AB即可解決問題．
（3）當(dāng)DQ=OQ，DR=OP時(shí)，△POQ≌△RDQ，當(dāng)OQ=DR，DQ=OP時(shí)，△POQ≌△QDR，分別根據(jù)對(duì)應(yīng)邊相等即可解決問題．

解答 解：（1）如圖1中，

∵點(diǎn)C坐標(biāo)為（5，0），點(diǎn)B坐標(biāo)為（8，4），BD∥OC，
∴OC=5，DB=8，
∵AB=OC=5，
∴DA=DB-AB=3，
∴點(diǎn)A坐標(biāo)為（3，4），

（2）當(dāng)0≤t≤2.5時(shí)，如圖2中，

∵BN∥OP，
∴∠NBM=∠MOP，
在△BMN和△OMP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠NBM=∠POM}\\{BM=OM}\\{∠NMB=∠OMP}\end{array}\right.$，
∴△BMN≌△OMP，
∴OP=BN=2t，
∴AN=AB-BN=5-2t，
當(dāng)t＞2.5時(shí)，如圖3中，

∵BN=OP=2t，
∴AN=BN-AB=2t-5．

（3）如圖4中，

當(dāng)DQ=OQ，DR=OP時(shí)，△POQ≌△RDQ，
此時(shí)DQ=OQ=2，OP=2OQ=4，
∴DR=4，
∴點(diǎn)R坐標(biāo)（4，4）．
如圖5中，

當(dāng)OQ=DR，DQ=OP時(shí)，△POQ≌△QDR，
此時(shí)4-t=2t，
∴t=$\frac{4}{3}$，
∴DR=OQ=$\frac{4}{3}$，
∴R點(diǎn)坐標(biāo)為（ $\frac{4}{3}$，4）．
綜上所述滿足條件的點(diǎn)R坐標(biāo)（4，4）或（$\frac{4}{3}$，4）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形綜合題、全等三角形的判定和性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)，學(xué)會(huì)分類討論，考慮問題要全面，屬于中考�？碱}型．