Question

如圖，已知AD是圓O直徑，點C在圓上，點B在線段AD延長線上，且∠A=∠B=30°，連接BC．
（1）證明：BC是圓O的切線；
（2）若圓O的半徑為，點P是線段BC上的一個動點，連接DP，當(dāng)直線DP為圓O的切線時，求線段DP的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OC．欲證BC是圓O的切線，只需證明BC⊥OC；
（2）連接CD．通過相似三角形△BDP∽△BCO的對應(yīng)邊成比例列出比例式=，從而求得PD的長度．
解答：（1）證明：連接OC．
∵∠A=∠B=30°，
∴∠ACB=120°，
又∵OA=OC，
∴∠ACO=∠A=30°，
∴∠BCO=∠ACB-∠ACO=90°，
∴BC⊥OC，
∴BC是圓O的切線；

（2）解：連接CD．
∵∠BCD=∠ACB-∠ACD=120°-90°=30°，
∴∠BCD=∠B，
∴DB=DC．
又∵在Rt△ACD中，DC=AD•sin30°=，
∴BD=，
∵直線DP為圓O的切線，
∴DP⊥AB，則△BDP∽△BCO，
∴=，
∵BC==3，
∴PD=×OC=×=1．
點評：本題考查了切線的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)．判定切線時，經(jīng)常作的輔助線是“連圓心和直線與圓的公共點”或“過圓心作這條直線的垂線”．