(2011•虹口區(qū)模擬)如圖,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=3,AC=4,AD是BC邊上的高,點(diǎn)E、F分別是AB邊和AC邊上的動(dòng)點(diǎn),且∠EDF=90°.
(1)求DE:DF的值;
(2)連接EF,設(shè)點(diǎn)B與點(diǎn)E間的距離為x,△DEF的面積為y,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式,并寫出x的取值范圍;
(3)設(shè)直線DF與直線AB相交于點(diǎn)G,△EFG能否成為等腰三角形?若能,請(qǐng)直接寫出線段BE的長(zhǎng);若不能,請(qǐng)說明理由.
分析:(1)首先由勾股定理求出BC和CD,再利用三角形相似就可以求出結(jié)論.
(2)由條件把AE、AF用含x的式子表示出來,由勾股定理把EF表示出來,再根據(jù)(1)的結(jié)論把DE、DF用含EF的式子表示出來,根據(jù)直角三角形的面積公式就可以求出y的表達(dá)式.
(3)如圖,根據(jù)線段的數(shù)量關(guān)系和勾股定理就可以求出BE的值.
解答:解:(1)∵∠BAC=90°,
∴∠B+∠C=90°,
∵AD是BC邊上的高,
∴∠DAC+∠C=90°
∴∠B=∠DAC,
∴∠BDE+∠EDA=∠ADF+∠EDA=90°
∴∠BDE=∠ADF,
∴△BED∽△AFD,
DE
DF
=
BD
AD

DB
AD
=cotB=
AB
AC
=
3
4

∴DE:DF=
3
4


(2)由△BED∽△AFD,得
BE
AF
=
BD
AD
=
3
4

∴AF=
4
3
BE,
∵BE=x,
∴AF=
4
3
x,AE=3-x,
∵∠BAC=90°,
∴EF2=(3-x)2+(
4
3
x)2=
25
9
x2-6x+9
,
∵DE:DF=3:4,∠EDF=90°,
∴ED=
3
5
EF,DF=
4
5
EF,
∴y=
1
2
ED•FD=
6
25
EF2,
∴y=
2
3
x2-
36
25
x+
54
25
(0≤x≤3)


(3)如圖,得:
①在等腰△EFG中,EF=EG,
∴∠G=∠EFG,
∵∠EAF=∠EDF=90°
∴A、E、D、F四點(diǎn)共圓,
∴∠BAD=∠EFG
∴∠BAD=∠G,
∴AD=DG
又∵DF=DG
∴DF=AD,∠ADB=∠EDF,
∴△BAD≌△EFD
∴EF=AB
∴EF2=AB2
25
9
x2-6x+9
=9
解得x=
54
25

∴BE=
54
25
;
②若EF=GF,
∵EF=FG,EA⊥AC
∴A為EG中點(diǎn)
∴AE=AD,
∵AB=3,AD=
12
5
,
∴BE=3-
12
5
=
3
5

∴△EFG能成為等腰三角形,BE的長(zhǎng)為
54
25
3
5
點(diǎn)評(píng):本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì),三角形的面積,等腰三角形的判定,勾股定理的運(yùn)用.
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4
4
個(gè).

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(2011•虹口區(qū)一模)已知A1、A2、A3是拋物線y=
1
4
x2
上的三點(diǎn),它們相應(yīng)的橫坐標(biāo)為連續(xù)偶數(shù)(n-2)、n、(n+2)(其中n>2),直線A1B1、A2B2、A3B3分別垂直于x軸于點(diǎn)B1、B2、B3,直線A2B2交線段A1B3于點(diǎn)C.
(1)當(dāng)n=4時(shí),如圖1,求線段CA2的長(zhǎng);
(2)如圖2,若將拋物線y=
1
4
x2
改為拋物線y=x2+c(其中c是常數(shù),且c>0).其他條件不變,求線段CA2的長(zhǎng);
(3)若將拋物線y=
1
4
x2
改為拋物線y=ax2+c(其中a、c是常數(shù),且a>0).其他條件不變,求線段CA2的長(zhǎng),并直接寫出結(jié)果(結(jié)果用a、c表示)

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(2011•虹口區(qū)一模)如圖,在矩形ABCD中,AB=4,AD=2,點(diǎn)M是AD的中點(diǎn).點(diǎn)E是邊AB上的一動(dòng)點(diǎn),連接EM并延長(zhǎng)交射線CD于點(diǎn)F,過M作EF的垂線交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,連接EG,交邊DC于點(diǎn)Q.設(shè)AE的長(zhǎng)為x,△EMG的面積為y
(1)求∠MEG的正弦值;
(2)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式,并寫出x的取值范圍;
(3)線段MG的中點(diǎn)記為點(diǎn)P,連接CP,若△PGC∽△EFQ,求y的值.

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