Question

【題目】如圖,已知一次函數(shù)y=0.5x+1的圖象與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)B,二次函數(shù)y=0.5x2+bx+c的圖象與一次函數(shù)y=0.5x+1的圖象交于點(diǎn)B、C兩點(diǎn),與x軸交于D、E兩點(diǎn),且D點(diǎn)坐標(biāo)為（1,0）．

（1）求二次函數(shù)的解析式；

（2）在在x軸上有一動點(diǎn)P，從O點(diǎn)出發(fā)以每秒1個單位的速度沿x軸向右運(yùn)動，是否存在動點(diǎn)P，使得△PBC是以P為直角頂點(diǎn)的直角三角形？若存在，求出點(diǎn)P運(yùn)動時間t的值；若不存在，請說明理由；

（3）若動點(diǎn)P在x軸上，動點(diǎn)Q在射線AC上，同時從A點(diǎn)出發(fā)，點(diǎn)P沿x軸正方向以每秒2個單位的速度運(yùn)動，點(diǎn)Q以每秒a個單位的速度沿射線AC運(yùn)動，是否存在以A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABD相似？若存在，求a的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）解析式為： ；

（2）t=1或3；

（3）當(dāng)a值為或時,△APQ與△ABD相似

【解析】試題分析：（1）根據(jù)一次函數(shù)的解析式可找出點(diǎn)B的坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)A、D的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出二次函數(shù)的解析式；（2）假設(shè)存在，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，0）．聯(lián)立直線與拋物線解析式成方程組，解方程組求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)B、P的坐標(biāo)利用兩點(diǎn)間的距離公式即可求出PB、PC、BC的長度，再利用勾股定理即可得出關(guān)于t的一元二次方程，解方程即可得出結(jié)論；（3）假設(shè)存在，則AP=2t，AQ=at．由一次函數(shù)解析式即可找出點(diǎn)A的坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)B、D的坐標(biāo)即可得出AB、AD的長度，分△PAQ∽BAD和△PAQ∽△DAB兩種情況考慮，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得出關(guān)于a的一元一次方程，解方程即可求出a值，此題得解．

試題解析：(1)將B(0,1),D(1,0)的坐標(biāo)代入y=x2+bx+c，

得： ，

解得： ，

故解析式為；

(2)設(shè)符合條件的點(diǎn)P存在,令P(a,0):

當(dāng)P為直角頂點(diǎn)時，如圖：過C作CF⊥x軸于F；

∵Rt△BOP∽Rt△PCF，

∴，

即，

整理得a24a+3=0，

解得a=1或a=3；

故可得t=1或3.

(3)存在符合條件的t值，使△APQ與△ABD相似，

①當(dāng)△APQ∽△ABD時, ，

解得：a=；

②當(dāng)△APQ∽△ADB時, ，

解得：a=，

∴存在符合條件的a值,使△APQ與△ABD相似,a=或.