Question

（2012•密云縣一模）已知：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax²+4x+5過點(diǎn)A（-1，0），對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為B．
（1）求a的值及對(duì)稱軸方程；
（2）設(shè)點(diǎn)P為射線BC上任意一點(diǎn)（B、C兩點(diǎn)除外），過P作BC的垂線交直線AB于點(diǎn)D，連接PA．設(shè)△APD的面積為S，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為m，求S與m的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量m的取值范圍；
（3）設(shè)直線AB與y軸的交點(diǎn)為E，如果某一動(dòng)點(diǎn)Q從E點(diǎn)出發(fā)，到拋物線對(duì)稱軸上某點(diǎn)F，再到x軸上某點(diǎn)M，從M再回到點(diǎn)E．如何運(yùn)動(dòng)路徑最短？請(qǐng)?jiān)谥苯亲鴺?biāo)系中畫出最短路徑，并寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)和運(yùn)動(dòng)的最短距離．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)拋物線y=ax²+4x+5過點(diǎn)A（-1，0），把A（-1，0）代入求出a的值，進(jìn)而求出拋物線的對(duì)稱軸方程；
（2）首先求出直線AB的解析式，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，m），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（

m

3

-1，m），然后結(jié)合三角形的面積公式求出S與m的函數(shù)關(guān)系式；
（3）作點(diǎn)E關(guān)于x=2的對(duì)稱點(diǎn)E′，再作點(diǎn)E關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)E''，連接E′E''交x軸于點(diǎn)M，連接EM（F與M重合）．則點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的最短路徑為：E→F（M）→E．其中，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，0），最短距離即可求出．

解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+4x+5過點(diǎn)A（-1，0），
∴a=-1．
∴對(duì)稱軸方程為x=-

b

2a

=2，

（2）∵點(diǎn)A為（-1，0），點(diǎn)B為（2，9），
∴直線AB的解析式為y=3x+3．
依題意知點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，m）．
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（

m

3

-1，m）．
∴S=

1

2

PD•|m|=

1

2

（2-

m

3

+1）•|m|=（

3

2

-

m

6

）•|m|
故S與m的函數(shù)關(guān)系式為S=

- 1 6 m2+ 3 2 m(0＜m＜9) 1 6 m2- 3 2 m(m＜0).

，

（3）如圖：作點(diǎn)E關(guān)于x=2的對(duì)稱點(diǎn)E′，再作點(diǎn)E關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)E''，
連接E′E''交x軸于點(diǎn)M，連接EM（F與M重合）．
則點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的最短路徑為：E→F（M）→E．其中，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，0）；
最短距離為2

13

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二次函數(shù)的綜合題的知識(shí)，解答本題的關(guān)鍵是理解題意和正確的作出圖形，此題難度較大，特別是第三問求出M的坐標(biāo)很關(guān)鍵．