如圖,拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸交于A(-3,0)、B兩點,與y軸交于精英家教網(wǎng)點C(0,
3
)
,當x=-4和x=2時,二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的函數(shù)值y相等,連接AC、BC.
(1)求實數(shù)a,b,c的值;
(2)若點M、N同時從B點出發(fā),均以每秒1個單位長度的速度分別沿BA、BC邊運動,其中一個點到達終點時,另一點也隨之停止運動,當運動時間為t秒時,連接MN,將△BMN沿MN翻折,B點恰好落在AC邊上的P處,求t的值及點P的坐標;
(3)在(2)的條件下,拋物線的對稱軸上是否存在點Q,使得以B,N,Q為頂點的三角形與△ABC相似?若存在,請求出點Q的坐標;若不存在,請說明理由.
分析:(1)由于x=-4和x=2時,拋物線的函數(shù)相等,那么它的對稱軸為x=-1,可據(jù)此求得點B的坐標,進而可利用待定系數(shù)法求得該拋物線的解析式,從而得到a、b、c的值;
(2)連接AC,根據(jù)A、B、C三點的坐標,易求得AC、BC、AB的長,從而證得△ACB是直角三角形,且∠ABC=60°,根據(jù)折疊的性質知BM=BN=MP=PN,故四邊形PMBN是菱形,此時PN∥AB,可得△CPN∽△CAB,利用所得比例線段,即可求得t值以及對應的P點坐標;
(3)由(2)求得∠ACB=90°,若以B,N,Q為頂點的三角形與△ABC相似,那么以B,N,Q為頂點的三角形也必為直角三角形,可分三種情況考慮:
①顯然BN中點的距離要大于1,由(2)求得的t值可得到
1
2
BN的長要小于1,因此以BN為直徑的圓與拋物線對稱軸沒有交點,因此Q不可能為直角頂點;
②若∠BNQ=90°,則有兩種情況:
1)∠NBQ=60°,此時Q為拋物線對稱軸與x軸的交點,由于N不是線段BC的中點,故NQ與AC不平行,圖此時∠BNQ不可能是90°;
2)∠NBQ=30°,此時Q點與點P重合,顯然此時∠BNQ不等于90°;
③若∠NBQ=90°,延長NM交拋物線對稱軸于點Q,此時∠MBQ=∠MQB=30°,可得QM=BM=PM,即x軸垂直平分PQ,此時P、Q關于x軸對稱,由此可求得點Q的坐標.
解答:解:(1)由題意知:拋物線的對稱軸為x=-1,則B(1,0)
設拋物線的解析式為:y=a(x+3)(x-1),
則有:a(0+3)(0-1)=
3
,a=-
3
3

∴y=-
3
3
(x+3)(x-1)=-
3
3
x2-
2
3
3
x+
3

故a=-
3
3
,b=-
2
3
3
,c=
3


(2)∵A(-3,0),B(1,0),C(0,
3
),
∴OA=3,OB=1,OC=
3
,AB=4,AC=2
3
,BC=2
故△ABC是直角三角形,且∠ACB=90°,∠ABC=60°
由題意知:BM=BN=MP=PN=t,
所以四邊形PNBM是菱形,
∴PN∥AB,
則有:
PN
AB
=
CN
BC
,即
t
4
=
2-t
2
,
解得t=
4
3

過P作PE⊥AB于E,
在Rt△PME中,∠PME=60°,PM=t=
4
3

故PE=
2
3
3
,ME=
2
3

∵OM=BM-OB=t-1=
1
3
,
∴OE=OM+EM=1,
即P(-1,
2
3
3
);

(3)由(1)知:拋物線的對稱軸為x=-1,精英家教網(wǎng)
所以點P在拋物線的對稱軸上;
由(2)知,∠ACB=90°,若以B,N,Q為頂點的三角形與△ABC相似,則△BNQ必為直角三角形;
①若∠BQN=90°;
由于BN=BM=t=
4
3
,則
1
2
BN=
2
3
;
而BN中點到拋物線對稱軸的距離大于1,
故以BN為直徑的圓與拋物線對稱軸無交點,
所以∠BQN≠90°,此種情況不成立.
②若∠BNQ=90°;
當∠NBQ=60°時,Q、E重合,此時∠BNQ≠90°,
當∠NBQ=30°時,Q、P重合,此時∠BNQ≠90°,
故此種情況也不成立.
③若∠NBQ=90°,延長NM交拋物線對稱軸于點Q,
∵∠PME=∠QME=∠BMN=∠NMP=60°,EM⊥PQ,
∴P、Q關于x軸對稱,故Q(-1,-
2
3
3
);
綜上所述,存在符合條件的Q點,且坐標為Q(-1,-
2
3
3
).
點評:此題考查了拋物線的性質、函數(shù)解析式的確定,直角三角形、菱形的判定和性質,相似三角形的性質、圓周角定理等重要知識,綜合性強,難度較大.
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1
2
,
9
8
),且與拋物線y2=ax2-ax-1相交于A,B兩點.
(1)求a值;
(2)設y1=-ax2-ax+1與x軸分別交于M,N兩點(點M在點N的左邊),y2=ax2-ax-1與x軸分別交于E,F(xiàn)兩點(點E在點F的左邊),觀察M,N,E,F(xiàn)四點的坐標,寫出一條正確的結論,并通過計算說明;
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