Question

【題目】如圖，拋物線y= x2+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，其對稱軸交拋物線于點(diǎn)D，交x軸于點(diǎn)E，已知OB=OC=6．

（1）求拋物線的解析式及點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）連接BD，F(xiàn)為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)∠FAB=∠EDB時(shí)，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；
（3）平行于x軸的直線交拋物線于M、N兩點(diǎn)，以線段MN為對角線作菱形MPNQ，當(dāng)點(diǎn)P在x軸上，且PQ= MN時(shí)，求菱形對角線MN的長．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵OB=OC=6，

∴B（6，0），C（0，﹣6），

∴ ，解得 ，

∴拋物線解析式為y= x2﹣2x﹣6，

∵y= x2﹣2x﹣6= （x﹣2）2﹣8，

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，﹣8）；

（2）

解：如圖1，過F作FG⊥x軸于點(diǎn)G，

設(shè)F（x， x2﹣2x﹣6），則FG=| x2﹣2x﹣6|，

在y= x2﹣2x﹣6中，令y=0可得 x2﹣2x﹣6=0，解得x=﹣2或x=6，

∴A（﹣2，0），

∴OA=2，則AG=x+2，

∵B（6，0），D（2，﹣8），

∴BE=6﹣2=4，DE=8，

當(dāng)∠FAB=∠EDB時(shí)，且∠FGA=∠BED，

∴△FAG∽△BDE，

∴ = ，即 = = ，

當(dāng)點(diǎn)F在x軸上方時(shí)，則有 = ，解得x=﹣2（舍去）或x=7，此進(jìn)F點(diǎn)坐標(biāo)為（7， ）；

當(dāng)點(diǎn)F在x軸上方時(shí)，則有 =﹣ ，解得x=﹣2（舍去）或x=5，此進(jìn)F點(diǎn)坐標(biāo)為（5，﹣ ）；

綜上可知F點(diǎn)的坐標(biāo)為（7， ）或（5，﹣ ）；

（3）

解：∵點(diǎn)P在x軸上，

∴由菱形的對稱性可知P（2，0），

如圖2，當(dāng)MN在x軸上方時(shí)，設(shè)T為菱形對角線的交點(diǎn)，

∵PQ= MN，

∴MT=2PT，

設(shè)PT=n，則MT=2n，

∴M（2+2n，n），

∵M(jìn)在拋物線上，

∴n= （2+2n）2﹣2（2+2n）﹣6，解得n= 或n= ，

∴MN=2MT=4n= +1；

當(dāng)MN在x軸下方時(shí)，同理可設(shè)PT=n，則M（2+2n，﹣n），

∴﹣n= （2+2n）2﹣2（2+2n）﹣6，解得n= 或n= （舍去），

∴MN=2MT=4n= ﹣1；

綜上可知菱形對角線MN的長為 +1或 ﹣1．

【解析】（1）由條件可求得B、C坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式，進(jìn)一步可求得D點(diǎn)坐標(biāo)；（2）過F作FG⊥x軸于點(diǎn)G，可設(shè)出F點(diǎn)坐標(biāo)，利用△FAG∽△BDE，由相似三角形的性質(zhì)可得到關(guān)于F點(diǎn)坐標(biāo)的方程，可求得F點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）可求得P點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)T為菱形對角線的交點(diǎn)，設(shè)出PT的長為n，從而可表示出M點(diǎn)的坐標(biāo)，代入拋物線解析式可得到n的方程，可求得n的值，從而可求得MN的長．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解相似三角形的性質(zhì)(對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形)．