Question

【題目】如圖，點(diǎn)P是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)P到點(diǎn)A、B和D的距離分別為1，2 ， ，△ADP沿點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至△ABP′，連結(jié)PP′，并延長(zhǎng)AP與BC相交于點(diǎn)Q．
（1）求證：△APP′是等腰直角三角形；
（2）求∠BPQ的大�。�

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形ABCD為正方形，

∴AB=AD，∠BAD=90°，

∵△ADP沿點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至△ABP′，

∴AP=AP′，∠PAP′=∠DAB=90°，

∴△APP′是等腰直角三角形

（2）解：∵△APP′是等腰直角三角形，

∴PP′= PA= ，∠APP′=45°，

∵△ADP沿點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至△ABP′，

∴PD=P′B= ，

在△PP′B中，PP′= ，PB=2 ，P′B= ，

∵（ ）2+（2 ）2=（ ）2，

∴PP′2+PB2=P′B2，

∴△PP′B為直角三角形，∠P′PB=90°，

∴∠BPQ=180°﹣∠APP′﹣∠P′PB=180°﹣45°﹣90°=45°

【解析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得AB=AD，∠BAD=90°，再利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AP=AP′，∠PAP′=∠DAB=90°，于是可判斷△APP′是等腰直角三角形；（2）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得PP′= PA= ，∠APP′=45°，再利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得PD=P′B= ，接著根據(jù)勾股定理的逆定理可證明△PP′B為直角三角形，∠P′PB=90°，然后利用平角定義計(jì)算∠BPQ的度數(shù)．
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用等腰直角三角形和正方形的性質(zhì)，掌握等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形；等腰直角三角形的兩個(gè)底角相等且等于45°；正方形四個(gè)角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對(duì)角線相等，并且互相垂直平分，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角；正方形的一條對(duì)角線把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形；正方形的對(duì)角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對(duì)角線把這個(gè)正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形即可以解答此題．