在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC,且BC=2.以CD為直徑作⊙O1交AD于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AB于點(diǎn)F.建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,已知A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(2,0),B(0,2
3
).
(1)求C,D兩點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)求證:EF為⊙O1的切線;
(3)線段CD上是否存在點(diǎn)P,使以點(diǎn)P為圓心,PD為半徑的⊙P與y軸相切.如果存在,請(qǐng)求出P點(diǎn)坐標(biāo);如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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分析:(1)連CE,根據(jù)圓周角定理的推論得到CE⊥DE,再根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)得DE=OA=2,則OD=2+2=4,即可寫(xiě)出C點(diǎn)坐標(biāo)和D點(diǎn)坐標(biāo);
(2)AB=4,易得∠DCE=30°,則∠CDE=∠A=60°,得到△O1DE為等邊三角形,則∠O1ED=60°,而EF⊥AB,有∠FEA=30°,于是∠O1EF=90°,根據(jù)切線的判定即可得到結(jié)論;
(3)設(shè)⊙與y軸相切于F,連PF,過(guò)C作CE⊥x軸與E,交PF于H,⊙P的半徑為R,根據(jù)切線的性質(zhì)得PF⊥y軸,則PD=PF=R,所以有PH=R-2,PC=4-R,DE=2,易證得Rt△CPH∽R(shí)t△CDE,理由相似比可求出R和CH,可得到HE,即可寫(xiě)出P點(diǎn)坐標(biāo).
解答:(1)解:連CE,如圖,
∵CD為⊙O1的直徑,
∴CE⊥DE,
∵四邊形ABCD是等腰梯形,BC=2,A(2,0),B(0,2
3
).
∴DE=OA=2,
∴OD=2+2=4,
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,2
3
),D點(diǎn)坐標(biāo)為(-4,0);
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(2)證明:∵DE=2,DC=AB=
(2
3
)
2
+22
=4,
∴∠DCE=30°,
∴∠CDE=∠A=60°,
∴△O1DE為等邊三角形,
∴∠O1ED=60°,
而EF⊥AB,
∴∠FEA=30°,
∴∠O1EF=90°,
∴EF為⊙O1的切線;

(3)存在.理由如下:
設(shè)⊙P與y軸切與F,連PF,過(guò)C作CE⊥x軸與E,交PF于H,⊙P的半徑為R,如圖,
∴PF⊥y軸,
∴PD=PF=R,
∴PH=R-2,PC=4-R,DE=2,
易證得Rt△CPH∽R(shí)t△CDE,
PH
DE
=
CP
CD
=
CH
CE
,即
R-2
2
=
4-R
4
=
CH
2
3
,解得R=
8
3
,CH=
2
3
3
,
∴HE=2
3
-
2
3
3
=
4
3
3
,
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為(-
8
3
,
4
3
3
).
點(diǎn)評(píng):本題考查了切線的判定與性質(zhì):過(guò)半徑的外端點(diǎn)與半徑垂直的直線是圓的切線;圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑.也考查了圓周角定理的推論、三角形相似的判定與性質(zhì)以及等腰梯形的性質(zhì).
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7
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