Question

【題目】如圖，直線y＝﹣x+4與x軸交于點A，與y軸交于點B．拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過A，B兩點，與x軸的另外一個交點為C

（1）填空：b＝　 ，c＝　 ，點C的坐標(biāo)為　 ．

（2）如圖1，若點P是第一象限拋物線上的點，連接OP交直線AB于點Q，設(shè)點P的橫坐標(biāo)為m．PQ與OQ的比值為y，求y與m的數(shù)學(xué)關(guān)系式，并求出PQ與OQ的比值的最大值．

（3）如圖2，若點P是第四象限的拋物線上的一點．連接PB與AP，當(dāng)∠PBA+∠CBO＝45°時．求△PBA的面積．

Answer 1

【答案】（1）1， 4，C（﹣2，0）；（2）y＝﹣m2+m ，PQ與OQ的比值的最大值為；（3）S△PBA＝12．

【解析】

（1）通過一次函數(shù)解析式確定A、B兩點坐標(biāo)，直接利用待定系數(shù)法求解即可得到b，c的值，令y=0便可得C點坐標(biāo)．
（2）分別過P、Q兩點向x軸作垂線，通過PQ與OQ的比值為y以及平行線分線段成比例，找到，設(shè)點P坐標(biāo)為（m，-m2+m+4），Q點坐標(biāo)（n，-n+4），表示出ED、OD等長度即可得y與m、n之間的關(guān)系，再次利用即可求解．
（3）求得P點坐標(biāo)，利用圖形割補法求解即可．

（1）∵直線y＝﹣x+4與x軸交于點A，與y軸交于點B．

∴A（4，0），B（0，4）．

又∵拋物線過B（0，4）

∴c＝4．

把A（4，0）代入y＝﹣x2+bx+4得，

0＝﹣×42+4b+4，解得，b＝1．

∴拋物線解析式為，y＝﹣x2+x+4．

令﹣x2+x+4＝0，

解得，x＝﹣2或x＝4．

∴C（﹣2，0）．

（2）如圖1，

分別過P、Q作PE、QD垂直于x軸交x軸于點E、D．

設(shè)P（m，﹣m2+m+4），Q（n，﹣n+4），

則PE＝﹣m2+m+4，QD＝﹣n+4．

又∵＝y．

∴n＝．

又∵，即

把n＝代入上式得，

整理得，4y＝﹣m2+2m．

∴y＝﹣m2+m．

ymax＝．

即PQ與OQ的比值的最大值為．

（3）如圖2，

∵∠OBA＝∠OBP+∠PBA＝45°

∠PBA+∠CBO＝45°

∴∠OBP＝∠CBO

此時PB過點（2，0）．

設(shè)直線PB解析式為，y＝kx+4．

把點（2，0）代入上式得，0＝2k+4．

解得，k＝﹣2

∴直線PB解析式為，y＝﹣2x+4．

令﹣2x+4＝﹣x2+x+4

整理得， x2﹣3x＝0．

解得，x＝0（舍去）或x＝6．

當(dāng)x＝6時，﹣2x+4＝﹣2×6+4＝﹣8

∴P（6，﹣8）．

過P作PH⊥cy軸于點H．

則S四邊形OHPA＝（OA+PH）OH＝（4+6）×8＝40．

S△OAB＝OAOB＝×4×4＝8．

S△BHP＝PHBH＝×6×12＝36．

∴S△PBA＝S四邊形OHPA+S△OAB﹣S△BHP＝40+8﹣36＝12．