Question

2．已知關于x的一元二次方程x²-2mx+m²-m=o有兩個實數(shù)根a、b；
（1）求實數(shù)m的取值范圍；
（2）求代數(shù)式a²+b²-3ab的最大值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)判別式的意義得到△=（-2m）²-4（m²-m）≥0，然后解不等式即可；
（2）由根與系數(shù)的關系得出a+b=2m，ab=m²-m，將代數(shù)式a²+b²-3ab變形為（a+b）²-5ab=-m²+5m=-（m-$\frac{5}{2}$）²+$\frac{25}{4}$，即可求出最大值．

解答 解：（1）根據(jù)題意得△=（-2m）²-4（m²-m）≥0，
解得m≥0；

（2）∵關于x的一元二次方程x²-2mx+m²-m=0有兩個實數(shù)根a、b，
∴a+b=2m，ab=m²-m，
∴a²+b²-3ab=（a+b）²-5ab
=（2m）²-5（m²-m）
=-m²+5m
=-（m-$\frac{5}{2}$）²+$\frac{25}{4}$，
由（1）得m≥0，
∴代數(shù)式a²+b²-3ab的最大值為$\frac{25}{4}$．

點評 本題考查了一元二次方程根的判別式，一元二次方程根的情況與判別式△的關系：
（1）△＞0?方程有兩個不相等的實數(shù)根；
（2）△=0?方程有兩個相等的實數(shù)根；
（3）△＜0?方程沒有實數(shù)根．
也考查了根與系數(shù)關系，配方法的應用．