Question

（12分）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，E是BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P在射線(xiàn)AD上，過(guò)P作PF⊥AE于F．

（1）求證：△PFA∽△ABE；

（2）若AP=，求△PFA的面積．

Answer 1

（1）證明見(jiàn)試題解析；（2）2．

【解析】

試題分析：（1）由正方形的性質(zhì)就可以得出∠B=∠C=∠ADC=∠BAD=90°AD∥BC，就可以得出∠PAF=∠AEB，就可以得出△PFA∽△ABE；

（2）根據(jù)勾股定理可以求出AE的值及△ABE的面積，由相似三角形的性質(zhì)就可以求出結(jié)論．

試題解析：（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴∠B=∠C=∠ADC=∠BAD=90°AD∥BC，AB=BC=CD=DA=4，∴∠DAE=∠AEB．∵PF⊥AE，∴∠AFP=90°，∴∠AFP=∠B，∴△PFA∽△ABE；

（2）∵E是BC邊的中點(diǎn)，∴BE=BC=2．在Rt△ABE中，由勾股定理，得：AE=．∵△PFA∽△ABE，∴．∵，∴，∴=2．

答：△PFA的面積為2．

考點(diǎn)：1．相似三角形的判定與性質(zhì)；2．正方形的性質(zhì)．