Question

已知：如圖，⊙O的弦AB、CD相交于點P，C是弧AB的中點，弦CE∥BD，交AB于點F．求證：AE•FP=AF•CP．

Answer 1

【答案】分析：由CE與BD平行，利用平行弦所夾的弧相等得到弧BC=弧DE，由C為弧AB的中點，得到一對弧相等，等量代換得到弧AC與弧DE相等，利用等弧所對的圓周角相等得到一對角相等，再由一對對頂角相等，利用兩對角相等的兩三角形相似，得到三角形AEF與三角形PCF相似，由相似得比例，變形后即可得證．
解答：證明：∵弦CE∥BD，
∴=，
∵=，
∴=，
∴∠E=∠C，
又∵∠AFE=∠PFC，
∴△AEF∽△PCF，
∴=
∴AE•FP=AF•CP．
點評：此題考查了圓周角定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，以及圓心角、弦、弧之間的關(guān)系，熟練掌握圓周角定理是解本題的關(guān)鍵．