Question

【題目】閱讀下面的例題及點撥，并解決問題：

例題：如圖①，在等邊△ABC中，M是BC邊上一點（不含端點B，C），N是△ABC的外角∠ACH的平分線上一點，且AM=MN．求證：∠AMN=60°．

點撥：如圖②，作∠CBE=60°，BE與NC的延長線相交于點E，得等邊△BEC，連接EM．易證：△ABM≌△EBM（SAS），可得AM=EM，∠1=∠2；又AM=MN，則EM=MN，可得∠3=∠4；由∠3+∠1=∠4+∠5=60°，進一步可得∠1=∠2=∠5，又因為∠2+∠6=120°，所以∠5+∠6=120°，即：∠AMN=60°．

問題：如圖③，在正方形A1B1C1D1中，M1是B1C1邊上一點（不含端點B1，C1），N1是正方形A1B1C1D1的外角∠D1C1H1的平分線上一點，且A1M1=M1N1．求證：∠A1M1N1=90°．

Answer 1

【答案】見解析；

【解析】

延長A1B1至E，使EB1＝A1B1，連接EM1C、EC1，則EB1＝B1C1，∠EB1M1＝90°＝∠A1B1M1，得出△EB1C1是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性質(zhì)得出∠B1EC1＝∠B1C1E＝45°，證出∠B1C1E＋∠M1C1N1＝180°，得出E、C1、N1，三點共線，由SAS證明△A1B1M1≌△EB1M1得出A1M1＝EM1，∠1＝∠2，得出EM1＝M1N1，由等腰三角形的性質(zhì)得出∠3＝∠4，證出∠1＝∠2＝∠5，得出∠5＋∠6＝90°，即可得出結(jié)論．

解：延長A1B1至E，使EB1=A1B1，連接EM1、EC1，

如圖所示：

則EB1=B1C1，∠EB1M1=90°=∠A1B1M1，

∴△EB1C1是等腰直角三角形，

∴∠B1EC1=∠B1C1E=45°，

∵N1是正方形A1B1C1D1的外角∠D1C1H1的平分線上一點，

∴∠M1C1N1=90°+45°=135°，

∴∠B1C1E+∠M1C1N1=180°，

∴E、C1、N1三點共線，

在△A1B1M1和△EB1M1中，，

∴△A1B1M1≌△EB1M1（SAS），

∴A1M1=EM1，∠1=∠2，

∵A1M1=M1N1，

∴EM1=M1N1，

∴∠3=∠4，

∵∠2+∠3=45°，∠4+∠5=45°，

∴∠1=∠2=∠5，

∵∠1+∠6=90°，

∴∠5+∠6=90°，

∴∠A1M1N1=180°﹣90°=90°．