Question

如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，且CA=CB．將線段AC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得線段AC′．
（1）求證：AC′是⊙O的切線；
（2）若AC′=4，求⊙O的半徑的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)AB為直徑，則∠C=90°，由CA=CB，則∠BAC=45°，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)角等于45°，得出∠BAC′=90度，從而得出AC′是⊙O的切線；
（2）根據(jù)勾股定理或三角函數(shù)可得出答案．
解答：（1）證明：∵AB是⊙O直徑，
∴∠ACB=90°．（1分）
又∵CA=CB，
∴∠CAB=45°．（2分）
又∵∠C′AC=45°，
∴∠C′AO=90°，
即OA⊥C′A．
∴AC′是⊙O的切線．（3分）

（2）解：∵線段AC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得線段AC′，
∴CA=C′A=4．（4分）
在Rt△ACB中，∠CAB=45°，
∵，
∴．
∴OA=．（5分）
如有其他解（證）法，請酌情給分．
點(diǎn)評：本題考查了切線的判定和性質(zhì)，以及勾股定理，是基礎(chǔ)知識要熟練掌握．