Question

【題目】（1）直線l1：y＝x+1與x軸交于點A，直線l2：y＝﹣x+3與x軸交于點B，l1與l2交于點C，直線l3過線段AB的中點和點C，求直線l3的解析式；

（2）已知平面直角坐標系中，直線l經過點P（2，1）且與雙曲線y＝交于A、B不同兩點，問是否存在這樣的直線l，使得點P恰好為線段AB的中點，若存在，求出直線l的解析式，若不存在，請說明理由；

（3）若A（x1，y1）、B（x2，y2）是拋物線y＝4x2上的不同兩點（y1≠y2），線段AB的垂直平分線與y軸交于點P，與線段AB交于點M（xm，ym），則稱線段AB為點P的一條“相關弦”，若點P的坐標為（0，a）時（a為常數(shù)），證明點P的“相關弦”中點M的縱坐標相同．

Answer 1

【答案】（1）直線l3的表達式為：x＝1；（2）直線l的表達式為：y＝﹣x+2，見解析；（3）見解析

【解析】

（1）直線l1：y＝x+1與x軸交于點A，直線l2：y＝﹣x+3與x軸交于點B，則點A、B的坐標分別為：（﹣1，0）、（3，0），則AB 中點坐標為：（1，0），即可求解；

（2）直線l的表達式為：y＝kx+1﹣2k，將直線l的表達式與反比例函數(shù)表達式聯(lián)立并整理得：kx2+（1﹣2k）﹣3＝0，則x1+x2＝＝2，解得：k＝﹣，；

（3）設點A、B的坐標分別為：（m，4m2）、（n，4n2），則直線AB中垂線的表達式可設為：y＝x+a，點M的坐標為：（，），將點M的表達式代入AB中垂線的表達式得：yM＝＝×+a＝+a．

解：（1）直線l1：y＝x+1與x軸交于點A，直線l2：y＝﹣x+3與x軸交于點B，

則點A、B的坐標分別為：（﹣1，0）、（3，0），則AB 中點坐標為：（1，0），

聯(lián)立l1、l2的表達式并解得：x＝1，故點C（1，2），

故直線l3的表達式為：x＝1；

（2）設直線l的表達式為：y＝kx+b，將點P的坐標代入上式并解得：

直線l的表達式為：y＝kx+1﹣2k，

將直線l的表達式與反比例函數(shù)表達式聯(lián)立并整理得：kx2+（1﹣2k）﹣3＝0，

則x1+x2＝＝2，解得：k＝﹣，

故直線l的表達式為：y＝﹣x+2；

（3）設點A、B的坐標分別為：（m，4m2）、（n，4n2），

則直線AB表達式中的k值為：＝4m+4n，

則直線AB中垂線的表達式可設為：y＝x+a，

點M的坐標為：（，），

將點M的表達式代入AB中垂線的表達式得：yM＝，

故點P的“相關弦”中點M的縱坐標為常數(shù)，即都相同．