Question

【題目】如圖，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，D、E分別在AC、BC上，若∠DBC＝2∠BAE，AB＝4，CD＝，則CE的長為_____．

Answer 1

【答案】2

【解析】

如圖，延長BC至F，使CF＝CD＝，連接AF，由等腰直角三角形的性質可得AC＝BC＝4，∠ABC＝∠BAC＝45°，由勾股定理可求AF＝，由“SAS”可證△ACF≌△BCD，可得∠CAF＝∠CBD＝2α，可求∠EAF＝45°﹣α+2α＝45°+α＝∠AEF，可得AF＝EF，即可求解．

解：如圖，延長BC至F，使CF＝CD＝，連接AF，

∵∠C＝90°，AC＝BC，AB＝4，

∴AC＝BC＝4，∠ABC＝∠BAC＝45°，

∴AF＝,

設∠BAE＝α，則∠DBC＝2α，

∴∠AEF＝∠ABC+∠BAE＝45°+α，∠EAC＝45°﹣α

∵BC＝AC，∠BCD＝∠ACF＝90°，CD＝CF，

∴△ACF≌△BCD（SAS）

∴∠CAF＝∠CBD＝2α，

∴∠EAF＝45°﹣α+2α＝45°+α＝∠AEF，

∴AF＝EF＝，

∴EC＝EF﹣CF＝，

故答案為：2．