Question

【題目】如圖，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=2，AC=4，D是BC邊上一動點，G是BC邊上的一動點，GE∥AD分別交AC、BA或其延長線于F、E兩點

（1）如圖1，當BC=5BD時，求證：EG⊥BC；
（2）如圖2，當BD=CD時，F(xiàn)G+EG是否發(fā)生變化？證明你的結論；
（3）當BD=CD，F(xiàn)G=2EF時，DG的值= ．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：如圖1，

∵∠BAC=90°，AB=2，AC=4，

∴BC=2 ，

∵BC=5BD，

∴BD= ，

∴ = =

又∵∠DBA=∠ABC，

∴△BDA∽△BAC，

∴∠BDA=∠BAC=90°，

∵EG∥AD，

∴EG⊥BC．

（2）

證明：FG=EG=2 不變，

證法1：如圖2，

∵EG∥AD，

∴△CFG∽△CAD，

∴ = ，

同理 = ，

∵BD=CD，

∴ + = + =2，

∴EG+FG=2AD，

∵BD=CD，∠BAC=90°，

∴AD= BC= ，

∴EG+FG=2AD=2 ．

證法2：如圖3，

取EF的中點，易證四邊形ADGH是平行四邊形，

得出EG+FG=2GH=2AD=2 ．

證法3：如圖4，

中線AD加倍到M，易證四邊形AMNE是平行四邊形，

得出EG+FG=EN=AM=2AD=2 ．

（3）
或
【解析】（3）如圖5，

當BD=CD，F(xiàn)G=2EF時，
則GE=EF，
∵GE∥AD，AD∥GF，
∴△CFG∽△CAD，△ABD∽△BGE，
∴ = ， = ，
∴ = = ；
又BG+CG=2 ，
∴BG= ，
∴DG=BD=BG= ；
如圖6，

當BD=CD，F(xiàn)G=2EF時，
則GE=EF，
∵GE∥AD，AD∥GF，
∴△CFG∽△CAD，△ABD∽△AGE，
∴ = ， = ，
∴ = = ；
又BG+CG=2 ，
∴CG= ，
∴DG=CD﹣CG= ．
綜上所知DG為 或 ．
【考點精析】利用勾股定理的概念對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2．