Question

如圖，△ABC、△DEF都是等邊三角形，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，E在BC上運(yùn)動(dòng)，DF和EF分別交AC于G、H兩點(diǎn)，BC=2，問E在何處時(shí)CH的長度最大？

Answer 1

【答案】分析：首先設(shè)EC=x，CH=y，則BE=2-x，由△ABC、△DEF都是等邊三角形，易得△BED∽△CHE，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，即可得，又由點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，AB=BC=2，代入比例式，即可求得y=-x²+2x=-（x-1）²+1，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求得答案．
解答：解：設(shè)EC=x，CH=y，則BE=2-x，
∵△ABC、△DEF都是等邊三角形，
∴∠B=∠DEF=60°，
∵∠B+∠BDE=∠DEF+∠HEC，
∴∠BDE=∠HEC，
∴△BED∽△CHE，
∴，
∵AB=BC=2，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，
∴BD=1，
∴，
即：y=-x²+2x=-（x-1）²+1．
∴當(dāng)x=1時(shí)，y最大．此時(shí)，E在BC中點(diǎn)．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)以及二次函數(shù)的性質(zhì)．此題難度適中，解題的關(guān)鍵是證得△BED∽△CHE，注意數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．